دالتان سقفية وأرضية

دالة الجزء الصحيح

دالة السقف

في الرياضيات وفي علم الحاسوب، دالتا الجزء الصحيح والسقف، (بالإنكليزية: Floor and ceiling functions) تربطا عددا حقيقيا ما بأكبر عدد صحيح سابق أو أصغر عدد صحيح تابع على التوالي، حيث:

• الجزء الصحيح لعدد حقيقي ما x هو أكبر عدد صحيح ليس أكبر من x. فصحيح العدد 2.6 هو 2 ، أى أكبر عدد صحيح ليس أكبر من 2.6 .
• بينما سقف العدد الحقيقي x فهو أصغر عدد صحيح ولكن ليس أصغر من x. فسقف العدد 2.3 هو 3 ، أي أصغر عدد صحيح ليس أصغر من 2.3 .

الرموز المستعملة

استعمل كارل فريدريش جاوس في عام 1808 رمز المعقوفتين [x] للدلالة على الجزء الصحيح في برهانه الثالث لمبرهنة التربيعية التبادلية. بقي هذا الرمز هو المرجع حتى أدخل كينيت إي ايفرسون في عام 1962 الكلمتين الإنجليزيتين Floor و Ceiling مع الرمزين الدالين عليهما $\rfloor$x$\lfloor$ و $\rceil$x$\lceil$ في كتاب له تحت عنوان لغة البرمجة.

أمثلة

قيمة ما ل x	الجزء الصحيح $\lfloor x\rfloor$	السقف $\lceil x\rceil$	الجزء الكسري $\{x\}$
12/5 = 2.4	2	3	2/5 = 0.4
2.7	2	3	0.7
$-2.7$	$-3$	$-2$	0.3
$-2$	$-2$	$-2$	0

تطبيقات

معضلات حلحلت

طرح رامانجن المعضلة التالية لجريدة للجمعية الرياضياتية الهندية.

إذا كان ن عددا صحيحا موجبا، أثبت أن:

(i)     $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,$

(ii)     $\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,$

(iii)     $\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .$

معضلات لم تحلحل بعد

انظر إلى معضلة ويرينغ.

انظر أيضا

• دالة أقرب عدد طبيعي.

وصلات خارجية

• شرح بالفيديو لدالة الجزء الصحيح