نهاية دالة

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471
0.1	0.998334
0.01	0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول "نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر." وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

تعتبر نهاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن :

للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن $A\subset \mathbb {R}$, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل $\delta >0$ يوجد على الأقل نقطة واحدة $x\in \mathbb {A}$ حيث. $|x-y|<\delta$.

لتكن $A\subset \mathbb {R}$, و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد $\delta >0$ بحيث إذا كانت $x\in \mathbb {A}$ و $0<|x-c|<\delta$ إذاً $|f(z)-L|<\epsilon$.

خصائص

قاعدة التسلسل

$\lim _{y\to d}f(y)=e$, و$\lim _{x\to c}g(x)=d\Rightarrow \lim _{x\to c}f(g(x))=e$

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين : أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد $\delta >0$ حيث إذا توفر $0<|x-c|<\delta$ فإن $|g(x)-d|>0$).

قاعدة لوبيتال

المقالة الرئيسة: قاعدة لوبيتال

الجمع والتكامل

نظرية

العدد $A\subset \mathbb {R}$ هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $\left(a_{n}\right)$ في A بحيث $\lim _{n\to \infty }a_{n}=c$ و ,∀n∈N $a_{n}\neq c$ .

مثال:

الفترة المفتوحة$A_{1}=\left(0,1\right)$ كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ$A_{1}$. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ $\left(A_{1}\right)$ لكنها لا تنتمي إلى

$\left(A_{1}\right)$. كل النقاط في $\left(A_{1}\right)$ هي نقاط تراكم ل $\left(A_{1}\right)$

1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة :

$\lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=L$ إذا أعطي $\epsilon$ جوار لـL

$\mathbf {V} _{\epsilon }\left(L\right)$ يوجد$\delta$  جوار لـ c 
 $\mathbf {V} _{\delta }\left(C\right)$ بحيث x≠c هي أي نقطة في $\mathbf {V} _{\epsilon }\left(C\right)\cap \mathbf {A}$ إذاً$f(x)\in \mathbf {V} _{\epsilon }\left(L\right)$

أمثلة

1) $\lim _{x\to \mathbf {c} }b=b$

الحل

أفترض f(x)=b,, لكل$x\in \mathbb {R}$, نريد إثبات أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=b$ ،وإذا كان $\epsilon >o$,, نفترض $\delta =1$.

(في الحقيقة في أي $\delta$ موجبة ستكون كافية للغرض" أي اي عدد موجب سيكون مقبول"),,

إذا $0<|x-c|<1$ , ((الواحد تعويض عن $\delta$)) لدينا $|f(x)-b|=|b-b|=0<\epsilon$ وبما أن $\epsilon >0$أجراء تعسفي (إجباري) , نستنتج من تعريف النهاية أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=b$

2) $\lim _{x\to \mathbf {c} }x=b$

الحل :

لتكن g(x)=x ,لكل $x\in \mathbb {R}$ , إذا كان$\epsilon >0$ نختار $\delta _{\left(\epsilon \right)}=\epsilon$ إذاًو إذا كانت

$0<|x-c|<\delta _{\left(\epsilon \right)}$, يكون لدينا $|g(x)-c|=|x-c|<\epsilon$, بما أن $\epsilon >0$, نستنتج أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }g=c$

مما يعني أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }x=c$

نظرية [معيار المتتابعة

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

$\left(\lim _{x\to \mathbf {c} }f=L\right)$

2/ لكل متتابعة $\left(x_{n}\right)$ في A تتقارب إلى c بحيث $x_{n}\neq c$ لكل $n\in \mathbb {N}$ , المتتابعه

$\left(x_{n}\right)$ تتقارب إلى L

معيار التباعد

لنفرض أن $A\subset \mathbb {R}$ ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت $l\in \mathbb {R}$ ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $x_{n}$ في A و$x_{n}\neq c$ لكل $n\in \mathbb {N}$ بحيث المتتابعة $x_{n}$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة

$\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $x_{n}$ في A و

$x_{n}\neq c$ لكل $n\in \mathbb {N}$ بحيث المتتابعة $x_{n}$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

$\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ ليست تقاربية في R

أمثلة

1/ $\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{x}}\right)$ غير موجودة

الحل

نفرض أن $\varphi \left(x\right)={\frac {1}{x}}$ إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ$\left(x_{n}\right)$ حيث $n\in \mathbb {N}$ , $x_{n}={\frac {1}{x}}$ هذا سيؤدي إلى أن $\lim _{x\rightarrow 0}x_{n}=0$ لكن $\left(x_{n}\right)={\frac {1}{\frac {1}{n}}}=n$ وكما نعلم أن المتتابعة $\left(\varphi \left(x_{n}\right)\right)=n$ ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}$ غير موجودة.

انظر أيضا

• نهاية متتالية،
• قاعدة لوبيتال.