تكامل دالي

التكامل الوظيفي هو عبارة عن مجموعة من النتائج في الرياضيات والفيزياء لم يعد مجالها جزءا من الفراغ، لكن محدد بتكاملات أخرى. يكثر استخدامه في الإحصاء والاحتمالات، في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية وفي تحديد النهج المتكامل للمسار للجسيمات والحقول في ميكانيكا الكم.

يتكون التكامل العادي من:

• دالة التكامل.
• مجال التكامل.

عملية التكامل ما هي إلا إضافة قيم التكامل في دالة التكامل لكل نقطة في المجال المحدد أو المفتوح. حيث يتم تقسيم مجال التكامل إلى مناطق أصغر وأصغر. لا تختلف قيمة اي جزء صغير عن الأخر كثيرا لذلك قد يتم استبدالها بقيمة واحدة. في التكامل الوظيفي المجال هو مدى من الدوال، لكل دالة قيمة مختلفة يتم إضافته إلى كل نقطة في المجال وحساب الناتج.

يرجع الفضل في تطوير التكامل الوظيفي عالم الرياضيات التشيلي بيرسي جون دانييل في مقال 1919 والأمريكي نوربرت فينر في سلسلة دراساته التي بلغت ذروتها في مقالاته عام 1921 عن الحركة البراونية. قام الثنائي بتطوير طريقة جديدة ودقيقة تعرف الأن بتكامل فينر المستخدم في تعيين احتمالية لمسار جسيم عشوائي. في حين طور ريتشارد فاينمان تكاملا وظيفيا آخر يستخدم في حساب الخواص الكمية للأنظمة. استبدل فيه المفهوم الكلاسيكي لمسار فريد لجسيم من خلال عدد لا حصر له من المسارات الكلاسيكية.

للتكامل الوظيفي تطبيقات هامة في التقنيات الكمية للفيزياء النظرية، حيث يتم استخدام الخصائص الجبرية للتكاملات الوظيفية في تطوير سلسلة تستخدم لحساب الخصائص في الكهروديناميكا الكمية والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات.

التكامل

في حين أن تكامل ريمان القياسي يتعامل مع الدالة (f(x عبر مدى مستمر لقيم X، يتعامل التكامل الوظيفي مع الدالة [G[f، والتي يطلق عليها "دالة الدالة" لمدى مستمر من الدوال (f(x. لا يمكن حساب معظم التكاملات الوظيفية بشكل دقبق لكن تحسب بطرق الاضطراب. يمكن القول أن التعريف الرسمي للتكامل الوظيفي بالتالي:

$\int G[f][Df]\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{\infty }G[f]\prod _{x}df(x).$

على الرغم من أنه في معظم الحالات يمكن كتابة دوال (f(x في سلسلة لا نهائية من الدوال المتعامدة كما يلي:

$f(x)=f_{n}H_{n}(x)$

وبذلك يصبح التعريف أكثر وضوحا كالتالي:

$\int G[f][Df]\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{\infty }G(f_{1},f_{2},\ldots )\prod _{n}df_{n},$

يظهر فيه التكامل على صورة تكامل وظيفي لكن بحرف D بدلا من حرف F. يوجد رمزين للتعبير عن الدالة الأول [Df] والثاني [D[f للإشارة إلى أن F دالة وليست متغير.

الأمثلة

معظم التكاملات الوظيفية لا نهائية، لكن ناتج قسمة تكاملين وظيفين يمكن أن يكون تكامل محدود. التكاملات الوظيفية التي يمكن حلها تبدأ في العادة بالتكامل الغاوسي التالي:

${\frac {\int e^{i\int -{\frac {1}{2}}f(x)\cdot K(x,y)\cdot f(y)\,dx\,dy+\int J(x)\cdot f(x)\,dx}[Df]}{\int e^{i\int -{\frac {1}{2}}f(x)\cdot K(x,y)\cdot f(y)\,dx\,dy}[Df]}}=e^{i{\frac {1}{2}}\int J(x)\cdot K^{-1}(x,y)\cdot J(y)\,dx\,dy}.$

يتم التكامل الوظيفي للدالة (J(x بداية من 0 إلى J. عند وضع

$K(x,y)=\Box \delta (x-y)$

يصبح هذا أسا مضروبا في كثيرة الحدود كالآتيه:

${\frac {\int f(a)f(b)e^{i\int f(x)\Box f(x)\,dx^{4}}[Df]}{\int e^{i\int f(x)\Box f(x)\,dx^{4}}[Df]}}=K^{-1}(a,b)={\frac {1}{|a-b|^{2}}},$

حيث (a,b,x) متغيرات رباعية الأبعاد. هذة هي صيغة انتشار الفوتون في الديناميكا الكهربائية الكمية. هناك عنصر آخر مفيد هو دالة ديراك الوظيفية:

$\int e^{i\int f(x)g(x)\,dx}[Df]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},$

الأنواع

تكامل فينمان

• صيغة تروتر، أو صيغة منتج لاي.
• فكرة كاك لدوران ويك.
• استخدام مربع إكس دوت دوت

تكامل ليفي

• ميكانيكا الكم التجزيئي
• معادلة شرودنجر الكسرية
• عملية ليفي
• ميكانيكا إحصائية كسرية

انظر أيضا

• التفاضل والتكامل
• عملية فينر
• حركة براونية

لمزيد من القراءة

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4(2):8674.
• هاغين كلاينيرت, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback (ردمك 981-238-107-4) (also available online: PDF-files)
• Laskin، Nick (2000). "Fractional quantum mechanics". Physical Review E. ج. 62 ع. 3: 3135. arXiv:0811.1769. Bibcode:2000PhRvE..62.3135L. DOI:10.1103/PhysRevE.62.3135. {{استشهاد بدورية محكمة}}: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |1= (مساعدة)
• Laskin، Nick (2002). "Fractional Schrödinger equation". Physical Review E. ج. 66 ع. 5. arXiv:quant-ph/0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. DOI:10.1103/PhysRevE.66.056108. {{استشهاد بدورية محكمة}}: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |1= (مساعدة)
• O. G. Smolyanov, E. T. Shavgulidze. Continual integrals. Moscow, Moscow State University Press, 1990. (in Russian). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Victor Popov, Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics, Springer 1983

وصلات خارجية

• "Theory of the Integral"
• Topics in Real and Functional Analysis