رياضيات: الفرق بين النسختين

عدل الوصلات
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
تصفح التاريخ تفاعلياً
[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
لا ملخص تعديل
لا ملخص تعديل
سطر 1: سطر 1:
{{مراجعة الزملاء|18 يونيو 2019}}
{{ترشيح مقالة جيدة|18 يوليو 2019}}
{{بطاقة تخصص
{{بطاقة تخصص
|صنف فرعي من=[[علوم شكلية]]، [[علوم دقيقة]]
|صنف فرعي من=[[علوم شكلية]]، [[علوم دقيقة]]

نسخة 08:43، 18 يوليو 2019

نجمة المقالة المرشحة للاختيار
نجمة المقالة المرشحة للاختيار
 هذه المقالة مرشحة حاليًا لتكون مقالة جيدة، وتُعد من الصفحات التي تحقق مستوًى معينًا من الجودة وتتوافق مع معايير المقالة الجيدة في ويكيبيديا. اطلع على عملية الترشيح وشارك برأيك في هذه الصفحة.
تاريخ الترشيح 18 يوليو 2019
جزء من سلسلة مقالات حول
العلوم
المجالات (تخصصات / قائمة)
المجالات العلمية
المجالات العلمية الإضافية
المجالات العلمية الزائفة
علوم زائفة
مدارس
الأدوات
شعار بوابة بوابة علوم

الرياضيات (من اليونانية máthēma μάθημα، والتي تعني "المعرفة والدراسة والتعلم") تهتم بدراسة مواضيع مثل الكمية[8] والبنية[9] والفضاء[8] والتغير.[10][11][12] وحتى الآن لا يوجد تعريف عام متفق عليه لمصطلح الرياضيات.[13][14]

يسعى علماء الرياضيات إلى استخدام أنماط لصياغة تخمينات جديدة؛[15][16] بسبب أنها تحل الحقيقة أو زيف التخمينات بواسطة إثبات رياضي. عندما تكون الهياكل الرياضية نماذج جيدة للظواهر الحقيقية، فإن التفكير الرياضي يمكن أن يوفر نظرة أو تنبؤات حول الطبيعة. من خلال استخدام التجريد والمنطق، طورت الرياضيات من العد والحساب والقياس والدراسة المنهجية لأشكال وحركات الأشياء المادية. لقد كانت الرياضيات العملية نشاطًا إنسانيًا يعود إلى تاريخ وجود السجلات المكتوبة. يمكن أن يستغرق البحث المطلوب لحل المسائل الرياضية سنوات أو حتى قرون من البحث المستمر.

ظهرت الحجج الصارمة أولاً في الرياضيات اليونانية، وعلى الأخص في أصول إقليدس. منذ العمل الرائد لجوزيبه بيانو (1858-1932)، وديفيد هيلبرت (1862-1943)، وغيرهم في النظم البديهية في أواخر القرن التاسع عشر، أصبح من المعتاد النظر إلى الأبحاث الرياضية كإثبات للحقيقة عن طريق الاستنتاج الدقيق من البديهيات المختارة بشكل مناسب والتعاريف. تطورت الرياضيات بوتيرة بطيئة نسبيًا حتى عصر النهضة، عندما أدت الابتكارات الرياضية التي تتفاعل مع الاكتشافات العلمية الجديدة إلى زيادة سريعة في معدل الاكتشافات الرياضية التي استمرت حتى يومنا هذا.[17]

تعتبر الرياضيات ضرورية في العديد من المجالات، لما لها قدرة على وضع نماذج رياضية يمكنها من صياغة سلوك ما أو التنبؤ بسلوك محتمل.[18][19][20] من أشهر المجالات التي تستعمل النماذج الرياضية العلوم الطبيعية والهندسة والطب والتمويل والعلوم الاجتماعية. أدت الرياضيات التطبيقية إلى تخصصات رياضية جديدة تمامًا، مثل الإحصاء ونظرية الألعاب. يشارك علماء الرياضيات في الرياضيات البحتة دون وضع أي تطبيق في الاعتبار، ولكن غالبًا ما يتم اكتشاف التطبيقات العملية لما بدأ كرياضيات بحتة في وقت لاحق.[21][22]

وفقا لاستطلاع أجرته مجموعة خبراء التصنيف الدولية IREG في عام (2013-2014)، جاءت جائزة أبيل التي بدأت عام (2003) والتي تمنحها سنويا الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب في المرتبة الأولى كأثر جائزة مرموقة في مجال الرياضيات. في المرتبة الثانية جاءت ميدالية فيلدز التي يرعاها الاتحاد الدولي للرياضيات منذ عام (1936). وفي المرتبة الثالثة جاءت جائزة وولف في الرياضيات التي تمنحها سنويا مؤسسة وولف منذ عام (1978).[23][24] تعتبر هذه الجوائز الأشهر وأكثر الجوائز بقيمتها المالية، ويعد البعض جائزة أبيل وميدالية فيلدز بمثابة جائزة نوبل في مجال الرياضيات لأن لجنة نوبل لا تمنحها في هذا المجال.[25][26][27]

التاريخ

المقالات الرئيسة: تاريخ الرياضيات وتاريخ الرياضيات اليونانية ورياضيات هندية والرياضيات عند قدماء المصريين ورياضيات صينية والرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية
لوحة بابلية تحتوي على جداول رياضية، يعود تاريخها إلى ما يقارب 1800 عام قبل الميلاد اسمها بليمتون 322.
صورة لبردية ريند الرياضية.
عالم الرياضيات الإغريقي فيثاغورس (حوالي 570 - 495 قبل الميلاد)، ينسب إليه اكتشاف مبرهنة فيثاغورس.
استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لتقدير قيمة الباي.
صفحة من كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، للخوارزمي.
نظام الترقيم العربي، المطور من نظام العد الهندي.

يمكن اعتبار تاريخ الرياضيات كسلسلة متزايدة من التجريدات. ربما كان التجريد الأول، الذي تشترك فيه العديد من الحيوانات،[28] هو الأعداد: إدراك أن مجموعة من تفاحتين ومجموعة من برتقالتين (على سبيل المثال) تشترك في شيء ما، ألا وهو كمية أعضائها.

كما يتضح من الأرقام الموجودة على العظام، بالإضافة إلى إدراك كيفية حساب الأشياء المادية، ربما أدركت شعوب ما قبل التاريخ أيضًا كيفية حساب الكميات المجردة، مثل الوقت والأيام والفصول والسنوات.[29]

لا تظهر أدلة الرياضيات المعقدة حتى حوالي عام 3000 قبل الميلاد، عندما بدأ البابليون والمصريون في استخدام الحساب والجبر والهندسة لفرض الضرائب والحسابات المالية الأخرى، للبناء والتشييد، وعلم الفلك.[30] أقدم النصوص الرياضية من بلاد ما بين النهرين ومصر هي من 2000-1800 قبل الميلاد. تذكر العديد من النصوص المبكرة أن نظرية فيثاغورس هي التطور الرياضي الأقدم والأكثر انتشارًا بعد الحساب والهندسة الأساسية. في الرياضيات البابلية يظهر الحساب الأولي (الجمع والطرح والضرب والقسمة) أولاً في السجل الأثري. يمتلك البابليون أيضًا نظامًا للقيمة الموضعية، واستخدموا نظامًا رقميًا خاصًا بالجنس، ولا يزالون يستخدمون اليوم لقياس الزوايا والوقت.[31]

ابتداء من القرن السادس قبل الميلاد مع فيثاغورس، بدأ الإغريق القدماء دراسة منهجية للرياضيات كموضوع في حد ذاته مع الرياضيات اليونانية.[32] حوالي 300 قبل الميلاد، قدم إقليدس الطريقة البديهية التي لا تزال تستخدم في الرياضيات اليوم، والتي تتكون من التعريف، البديهية، النظرية، والإثبات. يعتبر كتابه الأصول الأكثر نجاحًا وتأثيراً في كل العصور.[33] غالبًا ما يُعتبر عالم الرياضيات الأكبر في العصور القديمة أرخميدس (حوالي 287-212 قبل الميلاد).[34] قام بتطوير صيغ لحساب مساحة السطح وحجم المواد الصلبة واستخدم طريقة الاستنفاد لحساب المنطقة تحت قوس القطع المكافئ مع تجميع سلسلة لانهائية، بطريقة لا تختلف كثيرا عن حساب التفاضل والتكامل الحديث.[35] الإنجازات البارزة الأخرى في الرياضيات اليونانية هي أقسام مخروطية (أبلونيوس البرغاوي، القرن الثالث قبل الميلاد)،[36] وعلم المثلثات (أبرخش، القرن الثاني قبل الميلاد)،[37] وبدايات الجبر (ديوفانتوس الإسكندري، القرن الثالث للميلاد).[38]

تطور نظام العد الهندي العربي وقواعد استخدام عملياتها، المستخدمة في جميع أنحاء العالم اليوم، على مدار الألفية الأولى الميلادية في الهند وتم نقلها إلى العالم الغربي عبر الرياضيات في العالم الإسلامي. تشمل التطورات الأخرى البارزة في الرياضيات الهندية التعريف الحديث للجيب وجيب التمام، وشكل مبكر من سلسلة لانهائية.

كان لعلماء المسلمين في عصر الحضارة الإسلامية فضل كبير في تقدم علم الرياضيات، فقد أثروه وابتكروا فيه وأضافوا إليه وطوّروه، استفاد العالم أجمع من الإرث الذي تركوه. في البداية، جمع العلماء المسلمون نتاج علماء الأمم السابقة في حقل الرياضيات، ثم ترجموه، ومنه انطلقوا في الاكتشاف والابتكار والإبداع، ويُعد المسلمون أول من اشتغل في علم الجبر وأول من كتب فيه الخوارزمي،[39] وهم الذين أطلقوا عليه اسم "الجبر"، ونتيجة الاهتمام الذي أولوه إليه، فقد كانوا أول من ألَّف فيه بطريقة علمية منظمة. كما توسعوا في حساب المثلثات وبحوث النسبة التي قسموها إلى ثلاثة أقسام: عددية وهندسية وتأليفية، وحلّوا بعض المعادلات الخطية بطريقة حساب الخطأين، والمعادلات التربيعية، وأحلّوا الجيوب محل الأوتار، وجاءوا بنظريات أساسية جديدة لحل مثلثات الأضلاع، وربطوا علم الجبر بالأشكال الهندسية، وإليهم يرجع الفضل في وضع علم المثلثات بشكل علمي منظم مستقل عن علم الفلك، ما دفع الكثيرين إلى اعتباره علماً عربياً خالصاً.[40] ومن الإنجازات البارزة الأخرى في الفترة الإسلامية هي التقدم في علم المثلثات الكروية وإضافة العلامة العشرية إلى نظام الأرقام العربية. كان العديد من علماء الرياضيات البارزين من هذه الفترة فارسيين، مثل الخوارزمي وعمر الخيام وشرف الدين الطوسي.

خلال الفترة الحديثة المبكرة، بدأت الرياضيات في التطور بوتيرة متسارعة في أوروبا الغربية. تطور حساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن ولايبنز في القرن السابع عشر أحدث ثورة في الرياضيات. كان ليونهارت أويلر عالم الرياضيات الأكثر شهرة في القرن الثامن عشر، حيث ساهم في العديد من النظريات والاكتشافات. ربما كان عالم الرياضيات الأول في القرن التاسع عشر عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس، الذي قدم مساهمات عديدة في مجالات مثل الجبر والتحليل والهندسة التفاضلية ونظرية المصفوفة ونظرية الأعداد والإحصاء. في أوائل القرن العشرين، قام كورت غودل بتحويل الرياضيات من خلال نشر مبرهنات عدم الاكتمال، والتي توضح أن أي نظام بديهي ثابت سوف يحتوي على مقترحات غير قابلة للإثبات.

منذ ذلك الحين امتدت الرياضيات إلى حد كبير، وكان هناك تفاعل مثمر بين الرياضيات والعلوم، لما فيه فائدة لكليهما. الاكتشافات الرياضية لا تزال تبذل اليوم. وفقا لميخائيل سيفريوك، في عدد يناير 2006 من نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية، "عدد الأوراق والكتب المدرجة في قاعدة بيانات المراجعات الرياضية منذ عام 1940 (السنة الأولى من تشغيل MR) هو الآن أكثر من 1.9 مليون، وأكثر من 75 ألف عنصر إلى قاعدة البيانات كل عام. تحتوي الغالبية العظمى من الأعمال في هذا المحيط على نظريات رياضية جديدة وإثباتها".[41]

أصل الكلمة

كلمة الرياضيات تأتي من (باليونانية: máthēma)‏، وهذا يعني "ما الذي تم تعلمه"،[42] "ما يمكن للمرء أن يعرف"، وبالتالي "الدراسة" و"العلم". أصبحت كلمة "الرياضيات" تحمل معنى "دراسة رياضية" أضيق وأكثر تقنية حتى في الأوقات الكلاسيكية.[43] صفتها هي (θημαθηματικός (mathēmatikós، بمعنى "ذات صلة بالتعلم" أو "مجتهد"، والتي أصبحت كذلك تعني "رياضية". على وجه الخصوص، (μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē، (باللاتينية: ars mathematica)، تعني "الفن الرياضي".

وبالمثل، كانت إحدى مدرستي الفكر الرئيسيتين في فيثاغوريات تُعرف باسم mathēmatikoi) μαθηματικοί) والتي كانت في ذلك الوقت تعني "المعلمين" بدلاً من "علماء الرياضيات" بالمعنى الحديث.

في اللغة اللاتينية، وفي اللغة الإنجليزية حتى حوالي عام 1700، كان مصطلح الرياضيات أكثر شيوعًا يعني "علم التنجيم" (أو في بعض الأحيان "علم الفلك") بدلاً من "الرياضيات"؛ لقد تغير المعنى تدريجياً إلى معناه الحالي من حوالي 1500 إلى 1800. وقد أدى ذلك إلى العديد من الترجمات الخاطئة. على سبيل المثال، تحذير القديس أغسطينوس بأنه يجب على المسيحيين أن يحذروا من الرياضيات، أي المنجمين، يتم تفسيره أحيانًا باعتباره إدانة لعلماء الرياضيات.[44]

يعود الشكل التعددي الواضح باللغة الإنجليزية، مثل صيغة الجمع الفرنسية للرياضيات (والمشتق المفرد الأقل استخدامًا للرياضيات)، إلى الرياضيات التعددية اللغوية اللاتينية (شيشرون)، بناءً على الجمع اليوناني (θημαθηματικά (ta mathēmatiká، استخدمه أرسطو (384–322 قبل الميلاد)، ويعني "كل الأشياء الرياضية"؛ على الرغم من أنه من المعقول أن تقترض اللغة الإنجليزية فقط ((mathematic(al) وشكلت الرياضيات الاسم من جديد، بعد نمط الفيزياء والميتافيزيقيا، التي ورثت من اليونانية.[45] في اللغة الإنجليزية، تأخذ كلمة (mathematics) الاسمية صيغة مفردة. غالبًا ما يتم اختصارها إلى (maths) أو (math) في أمريكا الشمالية.[46]

أصل الكلمة في اللغة العربية

يأتي مصطلح الرياضيات من الجذر اللغوي رَوْض.[47] يذكر قاموس مجمع اللغة العربية في القاهرة بأن كلمة رياضة تشير إلى علم الرياضيات وأيضا استخدمت صفة "رياضيّ/رياضيّة" بديل مصطلح عالم رياضيات أو رياضياتي.[48] كان مصطلح الرياضيات يتم استبداله بمصطلح "علم الحساب" وأيضا قام الخوارزمي بإضافة مصطلح "الجبر" وهنالك مصطلح إضافي هو علم المثلثات، كانت هذه المصطلحات تقوم مقام مصطلح الرياضيات في الكتابات العربية القديمة. حتى حوالي عام 1700 في أوروبا، كان مصطلح الرياضيات أكثر شيوعًا بمعنى "علم التنجيم" (أو في بعض الأحيان "علم الفلك") بدلاً من "الرياضيات"؛ لقد تغير المعنى تدريجياً إلى معناه الحالي من حوالي 1500 إلى 1800 للميلاد.[44] تم اشتقاق كلمة الرياضيات من (باليونانية: máthēma)‏ وأيضا من (بالإنجليزية: mathematics)‏، والتي تعني "ما الذي تم تعلمه"،[42] أو "الدراسة" أو "العلم" ويعود سبب ذلك لأن علوم الرياضيات كثيرة وتشمل العديد من الموضوعات والحقول الرياضية.

تعريف ومفهوم الرياضيات

ليوناردو فيبوناتشي، عالم الرياضيات الإيطالي الذي قدم نظام الأرقام الهندوسية العربية الذي اخترعه علماء الرياضيات الهنود بين القرنين الأول والرابع، للعالم الغربي.

ليس للرياضيات تعريف مُتفق عليه بشكل عام.[13][14] عرّف أرسطو الرياضيات بأنها "علم الكمية"، وساد هذا التعريف حتى القرن الثامن عشر.[49] قال غاليليو غاليلي (1564–1642): "لا يمكن قراءة الكون حتى نتعلم اللغة ونتعرف على الشخصيات التي كتبت بها. إنه مكتوب بلغة رياضية، والحروف مثلثات ودوائر وغيرها من الأشكال الهندسية. شخصيات، بدونها تعني أنه من المستحيل إنسانيًا فهم كلمة واحدة، وبدون ذلك، يتجول الشخص في متاهة مظلمة".[50] أشار كارل فريدريش غاوس (1777-1855) إلى الرياضيات باسم "ملكة العلوم".[51] قال ديفيد هيلبرت عن الرياضيات: "نحن لا نتحدث هنا عن التعسف بأي حال من الأحوال. الرياضيات ليست مثل لعبة يتم تحديد مهامها وفقًا لقواعد منصوص عليها بشكل تعسفي. بل هو نظام مفاهيمي يمتلك ضرورة داخلية لا يمكن أن يكون كذلك وحسب لا يعني خلاف ذلك".[52] صرح ألبرت أينشتاين (1879-1955) بأنه "فيما يتعلق بقوانين الرياضيات تشير إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع".[53]

ابتداءً من القرن التاسع عشر، عندما ازدادت دراسة الرياضيات بصرامة وبدأت في معالجة الموضوعات المجردة مثل نظرية المجموعات والهندسة الإسقاطية، التي لا علاقة واضحة لها بالكمية والقياس، بدأ علماء الرياضيات والفلاسفة في اقتراح مجموعة متنوعة من التعريفات.[54] تؤكد بعض هذه التعريفات على الطابع الاستنتاجي للكثير من الرياضيات، وبعضها يركز على تجريده، بينما يركز البعض على مواضيع معينة داخل الرياضيات. اليوم، لا يوجد توافق في الآراء حول تعريف الرياضيات، حتى بين المهنيين.[13] لا يوجد إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات فن أم علم.[14] الكثير من علماء الرياضيات المحترفين لا يهتمون بتعريف الرياضيات، أو يعتبرونه غير قابل للتعريف.[13] يقول البعض فقط "الرياضيات هي ما يفعله علماء الرياضيات".[13]

وتسمى ثلاثة أنواع رائدة من تعريف الرياضيات المنطق، الحدس، والشكلية، كل منها يعكس مدرسة فلسفية مختلفة.[55] جميعهم يعانون من مشاكل حادة، لا يوجد قبول واسع النطاق، ولا يبدو أن المصالحة ممكنة.[55]

كان التعريف المبكر للرياضيات من حيث المنطق لبنيامين بيرس والذي قال "العلم الذي يستخلص النتائج الضرورية" (1870).[56] في مبادئ الرياضيات، قدم برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد البرنامج الفلسفي المعروف بالمنطقية، وحاولا إثبات أنه يمكن تعريف جميع المفاهيم والبيانات والمبادئ الرياضية وإثباتها بالكامل من حيث المنطق الرمزي. التعريف المنطقي للرياضيات هو كتاب "كل الرياضيات هو المنطق الرمزي" لراسل (1903).[57]

تعرف التعريفات البديهية، التي نشأت من فلسفة عالم الرياضيات لويتزن براور، على الرياضيات مع بعض الظواهر العقلية. مثال على تعريف الحدس هو "الرياضيات هي النشاط العقلي الذي يتكون في تنفيذ بنيات واحدة تلو الأخرى".[55] وخصوصية الحدس هو أنه يرفض بعض الأفكار الرياضية التي تعتبر صالحة وفقا لتعاريف أخرى. على وجه الخصوص، في حين أن فلسفات الرياضيات الأخرى تسمح بوجود أشياء يمكن إثبات وجودها على الرغم من عدم إمكانية بنائها، فإن الحدس يسمح فقط بالأشياء الرياضية التي يمكن للمرء أن يصنعها بالفعل.

تعرّف التعاريف الشكلية الرياضيات برموزها وقواعد العمل عليها. عرف هاسكل كاري الرياضيات ببساطة بأنها "علم النظم الرسمية".[58] النظام الرسمي عبارة عن مجموعة من الرموز أو الرموز المميزة وبعض القواعد التي توضح كيفية دمج الرموز في صيغ. في النظم الرسمية، فإن كلمة البديهية لها معنى خاص، تختلف عن المعنى العادي "لحقيقة بديهية". في الأنظمة الرسمية، البديهية هي مزيج من الرموز التي يتم تضمينها في نظام رسمي معين دون الحاجة إلى اشتقاقها باستخدام قواعد النظام.

الرياضيات كعلم

كارل فريدريش جاوس، المعروف بلقب "أمير الرياضيات".

أشار عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس إلى الرياضيات باسم "ملكة العلوم".[51] في الآونة الأخيرة، أطلق ماركوس دو سوتوي الرياضيات على أنها "ملكة العلوم. القوة الدافعة الرئيسية وراء الاكتشاف العلمي".[59] في (اللاتينية: Regina Scientiarum)، وكذلك في (اللغة الألمانية: Königin der Wissenschaften)، تعني الكلمة المقابلة للعلم "مجال المعرفة"، وكان هذا هو المعنى الأصلي "للعلم" باللغة الإنجليزية أيضًا؛ الرياضيات في هذا المعنى مجال المعرفة. يتبع التخصص الذي يقصر معنى "العلم" على العلوم الطبيعية صعود علم بيكون، الذي يقارن "العلوم الطبيعية" بالمدرسة، الطريقة الأرسطية للاستفسار من المبادئ الأولى. دور التجريب والملاحظة التجريبية ضئيل في الرياضيات، مقارنة بالعلوم الطبيعية مثل البيولوجيا والكيمياء والفيزياء. صرح ألبرت أينشتاين بأنه "بقدر ما تشير قوانين الرياضيات إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع".[60]


يعتقد العديد من الفلاسفة أن الرياضيات ليست قابلة للدحض تجريبياً، وبالتالي فهي ليست علمًا وفقًا لتعريف كارل بوبر.[61] ومع ذلك، في ثلاثينيات القرن العشرين، أقنعت نظريات غودل الناقصة العديد من علماء الرياضيات بأنه لا يمكن اختزال الرياضيات إلى المنطق وحده، وخلص كارل بوبر إلى أن "معظم النظريات الرياضية هي، مثل نظريات الفيزياء والبيولوجيا، استنتاجي افتراضي: فالرياضيات البحتة استنتاجية. أقرب إلى العلوم الطبيعية التي فرضياتها هي التخمينات، مما بدا حتى في الآونة الأخيرة".[62] قام مفكرون آخرون، وخاصة إمري لاكاتوس، بتطبيق نسخة من قبول الدحض على الرياضيات نفسها.[63][64]

وجهة نظر بديلة هي أن بعض المجالات العلمية (مثل الفيزياء النظرية) هي رياضيات مع البديهيات التي تهدف إلى تتوافق مع الواقع. تشترك الرياضيات كثيرًا في العديد من المجالات في العلوم الفيزيائية، لا سيما استكشاف النتائج المنطقية للافتراضات. يلعب الحدس والتجريب أيضًا دورًا في صياغة التخمينات في كل من الرياضيات والعلوم الأخرى. تستمر الرياضيات التجريبية في الأهمية داخل الرياضيات، ويلعب الحساب والمحاكاة دورًا متزايدًا في كل من العلوم والرياضيات.

تتنوع آراء علماء الرياضيات حول هذه المسألة. يشعر العديد من علماء الرياضيات[65] أن تسمية منطقتهم بالعلم هو التقليل من أهمية جانبها الجمالي، وتاريخها في الفنون الليبرالية التقليدية السبعة؛ يشعر الآخرون أن تجاهل علاقتها بالعلوم هو غض الطرف عن حقيقة أن العلاقة بين الرياضيات وتطبيقاتها في العلوم والهندسة دفعت الكثير من التطور في الرياضيات. إحدى الطرق التي يلعب بها هذا الاختلاف في وجهات النظر هي النقاش الفلسفي حول ما إذا كان يتم إنشاء الرياضيات (كما في الفن) أو اكتشافها (كما في العلوم). من الشائع رؤية الجامعات مقسمة إلى أقسام تتضمن تقسيمًا للعلوم والرياضيات، مما يشير إلى أن الحقول ينظر إليها على أنها متحالفة ولكنها لا تتزامن. في الممارسة العملية، يتم تجميع علماء الرياضيات عادة مع العلماء على المستوى الإجمالي ولكن يتم فصلهم في مستويات أدق. هذا هو واحد من العديد من القضايا التي تتناولها فلسفة الرياضيات.

الرياضيات البحتة والتطبيقية، وعلم الجمال

المقالة الرئيسة: جمال رياضياتي

تنشأ الرياضيات من العديد من أنواع المسائل المختلفة. في البداية وجدت هذه في التجارة، وقياس الأراضي، والهندسة المعمارية وعلم الفلك في وقت لاحق؛ اليوم، تشير جميع العلوم إلى المسائل التي يدرسها علماء الرياضيات، وتنشأ العديد من المشكلات داخل الرياضيات نفسها. على سبيل المثال، اخترع الفيزيائي ريتشارد فاينمان صياغة متكاملة لميكانيكا الكم باستخدام مزيج من التفكير الرياضي والبصيرة الجسدية، ونظرية الأوتار اليوم، وهي نظرية علمية لا تزال قيد التطور تحاول توحيد القوى الأساسية الأربعة للطبيعة، لا تزال تلهم المزيد من الرياضيات الجديدة.[66]

بعض مجالات الرياضيات ذات صلة فقط في المجال الذي ألهمها، ويتم تطبيقها لحل المزيد من المسائل في هذا المجال. ولكن غالباً ما تثبت الرياضيات المستوحاة من مجال واحد أنها مفيدة في العديد من المجالات، وتنضم إلى المجموعة العامة من المفاهيم الرياضية. غالبًا ما يتم التمييز بين الرياضيات البحتة والرياضيات التطبيقية. ومع ذلك، غالبًا ما تتحول موضوعات الرياضيات البحتة إلى تطبيقات، على سبيل المثال نظرية الأعداد في التشفير. هذه الحقيقة الرائعة، وهي أن الرياضيات "البحتة" غالبًا ما تتحول إلى تطبيقات عملية، هو ما أسماه يوجين ويغنر "الفعالية غير المعقولة للرياضيات".[67] كما هو الحال في معظم مجالات الدراسة، أدى انفجار المعرفة في العصر العلمي إلى التخصص: يوجد الآن المئات من المجالات المتخصصة في الرياضيات وأحدث تصنيف لمواد الرياضيات يصل إلى 46 صفحة.[68] دمجت العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية مع التقاليد ذات الصلة خارج الرياضيات وأصبحت التخصصات في حد ذاتها، بما في ذلك الإحصاءات، وبحوث العمليات، وعلوم الحاسوب.

بالنسبة لأولئك الذين يميلون رياضيا، غالبا ما يكون هناك جانب جمالي محدد لكثير من الرياضيات. يتحدث العديد من علماء الرياضيات عن أناقة الرياضيات، وعلم الجمال الداخلي والجمال الداخلي. تقدر البساطة والعمومية. هناك جمال في دليل بسيط وأنيق، مثل دليل إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، وبأسلوب عددي أنيق يسرع الحساب، مثل تحويل فورييه السريع. أعرب غودفري هارولد هاردي في مقالته دفاع رياضياتي عن اعتقاده بأن هذه الاعتبارات الجمالية كافية بحد ذاتها لتبرير دراسة الرياضيات البحتة. حدد معايير مثل الأهمية وعدم اليقين والحتمية والاقتصاد كعوامل تسهم في جمالية رياضية.[69] غالبًا ما يبحث البحث الرياضي عن ميزات مهمة لكائن رياضي. إن النظرية التي يتم التعبير عنها كتوصيف للكائن بهذه الميزات هي الجائزة. تم نشر أمثلة على الحجج الرياضية الواضحة والوحيّة بشكل خاص في كتاب "إثباتات من الكتاب".

شعبية الرياضيات الترفيهية هي علامة أخرى على المتعة التي يجدها الكثيرون في حل الأسئلة الرياضية. وعلى الطرف الاجتماعي الآخر، لا يزال الفلاسفة يجدون مسائل في فلسفة الرياضيات، مثل طبيعة البرهان الرياضي.[70]

التدوين الرياضي، والدقة

المقالة الرئيسة: ترميز رياضي
قام ليونهارت أويلر بإنشاء وتعميم الكثير من الرموز الرياضية المستخدمة اليوم.

معظم الرموز الرياضية المستخدمة اليوم لم يتم اختراعها حتى القرن السادس عشر.[71] قبل ذلك، تم كتابة الرياضيات بالكلمات، مما يحد من الاكتشافات الرياضية.[72] كان أويلر (1707-1783) مسؤولاً عن العديد من الرموز المستخدمة اليوم. التدوين الحديث يجعل الرياضيات أسهل بكثير بالنسبة للمحترفين، ولكن المبتدئين غالبا ما يجدونها شاقة. وفقا لباربرا أوكلي، يمكن أن يعزى ذلك إلى حقيقة أن الأفكار الرياضية هي أكثر تجريدية وأكثر تشفيرًا من أفكار اللغة الطبيعية.[73] على عكس اللغة الطبيعية، حيث يمكن للناس في كثير من الأحيان مساواة كلمة (مثل الشجرة) مع الشيء المادي الذي تقابله، فإن الرموز الرياضية مجردة، وتفتقر إلى أي تناظرية مادية.[74] الرموز الرياضية مشفرة أيضًا بدرجة أكبر من الكلمات العادية، مما يعني أن الرمز الواحد يمكن أن يشفر عددًا من العمليات أو الأفكار المختلفة.[75]

قد يصعب فهم اللغة الرياضية بالنسبة للمبتدئين لأن المصطلحات الشائعة، مثل أو فقط، لها معنى أكثر دقة من المصطلحات المستخدمة في الكلام اليومي، بينما تشير المصطلحات الأخرى مثل "فتح" و"حقل" إلى أفكار رياضية محددة، لا تغطيها معاني العلمانيين. تتضمن اللغة الرياضية أيضًا العديد من المصطلحات الفنية مثل التجانس التماثلي والتكامل الذي لا معنى له خارج الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك، تنتمي العبارات المختصرة مثل "iff" ل"إذا وفقط إذا" إلى المصطلحات الرياضية. هناك سبب للتدوين الخاص والمفردات الفنية: تتطلب الرياضيات دقة أكثر من الكلام اليومي. يشير علماء الرياضيات إلى هذه الدقة في اللغة والمنطق باسم "الصرامة".

البرهان الرياضي هو في الأساس مسألة صرامة. يريد علماء الرياضيات أن تتبع نظرياتهم من البديهيات عن طريق التفكير المنهجي. هذا هو تجنب "النظريات" الخاطئة، القائمة على الحدس الخاطئ، والتي حدثت العديد من الحالات في تاريخ الموضوع. تباين مستوى الصرامة المتوقعة في الرياضيات بمرور الوقت: توقع اليونانيون حججًا مفصلة، لكن في زمن إسحاق نيوتن كانت الأساليب المستخدمة أقل صرامة. المشاكل الكامنة في التعاريف التي يستخدمها نيوتن ستؤدي إلى عودة التحليل الدقيق والدليل الرسمي في القرن التاسع عشر. سوء الفهم للدقة هو سبب لبعض المفاهيم الخاطئة الشائعة في الرياضيات. اليوم، يواصل علماء الرياضيات الجدال فيما بينهم حول البراهين المدعومة بالحاسوب. نظرًا لأنه يصعب التحقق من الحسابات الكبيرة، فقد لا تكون هذه الأدلة دقيقة بدرجة كافية.[76]

البديهيات في الفكر التقليدي كانت "حقائق بديهية"، ولكن هذا المفهوم إشكالي.[77] على المستوى الرسمي، البديهية هي مجرد سلسلة من الرموز، التي لها معنى جوهري فقط في سياق جميع الصيغ المشتقة من نظام البديهية. كان هدف برنامج هيلبرت وضع جميع الرياضيات على أساس بديهي ثابت، ولكن وفقًا لمبرهنات عدم الاكتمال لغودل، كل نظام بديهي (قوي بما فيه الكفاية) له صيغ غير قابلة للإلغاء؛ وبالتالي فإن البديهية النهائية للرياضيات أمر مستحيل. ومع ذلك، غالبًا ما يُتخيل أن الرياضيات (بقدر محتواها الرسمي) ليست سوى نظرية ثابتة في بعض البديهيات، بمعنى أن كل بيان رياضي أو دليل يمكن أن يُطرح في صيغ ضمن نظرية المجموعات.[78]

مجالات الرياضيات

المعداد، آلة حساب بسيطة تستعمل منذ القدم.

وبشكل عام، يمكن تقسيم الرياضيات إلى دراسة الكمية والبنية والفضاء والتغيير (أي الحساب والجبر والهندسة والتحليل). بالإضافة إلى هذه الشواغل الرئيسية، هناك أيضًا أقسام فرعية مخصصة لاستكشاف الروابط من الرياضيات البحتة إلى مجالات أخرى: إلى المنطق، ووضع النظرية (الأسس)، والرياضيات التجريبية لمختلف العلوم (الرياضيات التطبيقية)، ومؤخرًا لدراسة صارمة لمواضيع الارتياب. على الرغم من أن بعض المواضيع قد تبدو غير ذات صلة، فقد وجد برنامج لانجلاندز روابط بين المواضيع التي كان يعتقد في السابق أنها غير مرتبطة، مثل زمرة غالوا، وسطح ريمان ونظرية الأعداد.

أسس وفلسفة الرياضيات

المقالات الرئيسة: أسس الرياضيات وفلسفة الرياضيات

من أجل توضيح أسس الرياضيات، تم تطوير مجالات المنطق الرياضي ونظرية المجموعات. يتضمن المنطق الرياضي الدراسة الرياضية للمنطق وتطبيقات المنطق الرسمي في مجالات أخرى من الرياضيات؛ نظرية المجموعات هي فرع الرياضيات الذي يدرس مجموعات أو مجموعات من الأشياء. نظرية الأصناف، التي تتعامل بطريقة مجردة مع الهياكل الرياضية والعلاقات بينهما، لا تزال قيد التطوير. تصف عبارة "أزمة الأسس" البحث عن أساس صارم للرياضيات التي حدثت في الفترة من عام 1900 إلى 1930 تقريبًا.[79] يستمر بعض الخلاف حول أسس الرياضيات حتى يومنا هذا. تم حفز أزمة المؤسسات من قبل عدد من الخلافات في ذلك الوقت، بما في ذلك الجدل حول مبرهنة كانتور وجدل بروير-هيلبرت.

يهتم المنطق الرياضي بإعداد الرياضيات ضمن إطار بديهي صارم، ودراسة الآثار المترتبة على هذا الإطار. على هذا النحو، تعد موطنًا لمبرهنات عدم الاكتمال لغودل التي تعني -بشكل غير رسمي- (أن أي نظرية مولدة بشكل كفء قادرة على التعبير عن الحساب الابتدائي لا يمكن أن تكون كاملة وراسخة في وقت واحد. على وجه الخصوص، من أجل أي نظرية راسخة مولدة بشكل كفء والتي تبرهن حقيقة حسابية بسيطة، فإنه يوجد عبارة حسابية تكون محققة ولكنها غير مبرهنة بالنظرية). فقد أوضح غودل كيفية بناء بيان رسمي يمثل حقيقة نظرية للأعداد، ولكنه لا يتبع تلك البديهيات. لذلك، لا يوجد نظام رسمي هو البديهية الكاملة لنظرية الأعداد الكاملة. ينقسم المنطق الحديث إلى نظرية الحاسوبية، نظرية النموذج، ونظرية البرهان، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بعلوم الحاسوب النظرية، وكذلك بنظرية الأصناف. في سياق نظرية الحاسوبية، يمكن أيضًا استحالة استنباط البديهية الكاملة لنظرية الأعداد بشكل رسمي كنتيجة لنظرية (MRDP).

تتضمن علوم الحاسوب النظرية نظرية الحوسبة ونظرية التعقيد الحسابي ونظرية المعلومات. تبحث نظرية الحوسبة في قيود النماذج النظرية المختلفة للحاسوب، بما في ذلك النموذج الأكثر شهرة (آلة تورنغ). نظرية التعقيد الحسابي هي دراسة قابلية التتبع بواسطة الحاسوب؛ بعض السائل، على الرغم من أنها قابلة للحل من الناحية النظرية بواسطة الحاسوب، فهي مكلفة للغاية من حيث الوقت أو المساحة بحيث يحتمل أن تظل حلها غير ممكنة من الناحية العملية، حتى مع التقدم السريع لأجهزة الحاسوب. والمسألة الشهيرة هي "مسألة P = NP؟"، واحدة من جائزة مسائل الألفية.[80] أخيرًا، تهتم نظرية المعلومات بكمية البيانات التي يمكن تخزينها على وسيط معين، وبالتالي تتعامل مع مفاهيم مثل الضغط والاعتلاج.

منطق رياضي نظرية المجموعات نظرية الأصناف نظرية الحوسبة

الرياضيات البحتة

المقالة الرئيسة: رياضيات بحتة

الكمية

المقالة الرئيسة: حسابيات

تبدأ دراسة الكمية بالأعداد، أولاً الأعداد الطبيعية المألوفة والأعداد الصحيحة والعمليات الحسابية عليها، والتي تتميز بحسابها. تتم دراسة الخصائص الأعمق للأعداد الصحيحة في نظرية الأعداد، والتي تأتي منها نتائج شعبية مثل مبرهنة فيرما الأخيرة. التخمين الأول والثاني لحدسية غولدباخ مسألتان لم تحل في نظرية الأعداد.

كما تم تطوير نظام الأعداد، يتم التعرف على الأعداد الصحيحة كمجموعة فرعية من الأرقام المنطقية ("الكسور"). هذه، بدورها، ترد في الأعداد الحقيقية، والتي تستخدم لتمثيل كميات مستمرة. الأعداد الحقيقية يتم تعميمها على الأعداد العقدية. هذه هي الخطوات الأولى لتسلسل هرمي من الأرقام يمتد ليشمل الكواتيرنيون والأوكتونيون. يؤدي النظر في الأعداد الطبيعية أيضًا إلى الأرقام المنقولة، والتي تضفي الطابع الرسمي على مفهوم "اللانهاية". وفقًا للنظرية الأساسية للجبر، فإن جميع حلول المعادلات في واحدة غير معروفة بالمعاملات المعقدة هي أعداد معقدة، بغض النظر عن الدرجة. مجال الدراسة الآخر هو حجم المجموعات، الموصوف بالأرقام الأساسية. وتشمل هذه أعداد أليف، والتي تتيح مقارنة ذات مغزى لحجم مجموعات كبيرة بلا حدود.

أعداد طبيعية أعداد صحيحة أعداد كسرية
أعداد حقيقية أعداد عقدية

البنية

المقالة الرئيسة: جبر

تعرض العديد من الكائنات الرياضية، مثل مجموعات الأرقام والوظائف، بنية داخلية كنتيجة للعمليات أو العلاقات المحددة في المجموعة. ثم تدرس الرياضيات خصائص تلك المجموعات التي يمكن التعبير عنها من حيث هذا الهيكل؛ على سبيل المثال، تدرس نظرية الأعداد خصائص مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمكن التعبير عنها من حيث العمليات الحسابية. علاوة على ذلك، يحدث في كثير من الأحيان أن هذه المجموعات (أو الهياكل) المختلفة تظهر خصائص متشابهة، مما يجعل من الممكن، من خلال خطوة أخرى من التجريد، تحديد البديهيات لفئة من الهياكل، ثم دراسة دفعة واحدة كاملة من الهياكل التي ترضي هذه البديهيات. وهكذا يمكن للمرء دراسة المجموعات والحلقات والحقول والأنظمة التجريدية الأخرى؛ معا مثل هذه الدراسات (للهياكل التي تحددها العمليات الجبرية) تشكل مجال الجبر التجريدي.

بحكم عمومية كبيرة، يمكن في كثير من الأحيان تطبيق الجبر التجريدي على المسائل التي تبدو غير ذات صلة. على سبيل المثال، تم حل عدد من المسائل القديمة المتعلقة ببناء البوصلة والبسط باستخدام نظرية غالوا، والتي تتضمن نظرية المجال ونظرية المجموعة. مثال آخر لنظرية الجبر هو الجبر الخطي، وهو الدراسة العامة لمساحات المتجهات، التي تحتوي عناصرها المتجهات على كمية واتجاه، ويمكن استخدامها لنمذجة العلاقات بين نقاط في الفضاء. هذا مثال على الظاهرة المتمثلة في أن المناطق غير المرتبطة أصلاً في الهندسة والجبر لها تفاعلات قوية للغاية في الرياضيات الحديثة. التوافقيات يدرس طرق تعداد عدد الكائنات التي تناسب بنية معينة.

نظرية الأعداد الجبر نظرية الزمر التوافقيات نظرية المخططات نظرية الترتيب

الفضاء

المقالة الرئيسة: هندسة رياضية

تنبثق دراسة الفضاء بالهندسة (بشكل خاص)، الهندسة الإقليدية، التي تجمع بين الفضاء والأعداد، وتشمل نظرية فيثاغورس المعروفة. علم المثلثات هو فرع الرياضيات الذي يتعامل مع العلاقات بين الجانبين وزوايا المثلثات والوظائف المثلثية. تعمم الدراسة الحديثة للفضاء هذه الأفكار لتشمل هندسة الأبعاد العليا، والهندسة غير الإقليدية (التي تلعب دورًا رئيسيًا في النسبية العامة) والطوبولوجيا. تلعب كل من المساحة والكم دورًا في الهندسة التحليلية والهندسة التفاضلية والهندسة الجبرية. تم تطوير الهندسة المحدبة والهندسة المتقطعة لحل المسائل في نظرية الأعداد والتحليل الدالي ولكن يتم الآن متابعتها مع التطبيقات في التحسين وعلوم الحاسوب. ضمن الهندسة التفاضلية توجد مفاهيم حزم الألياف وحساب التفاضل والتكامل على متعدد الشعب، على وجه الخصوص، التفاضل الشعاعي والموتر. داخل الهندسة الجبرية، وصف الكائنات الهندسية كمجموعات حل لمعادلات متعددة الحدود، تجمع بين مفاهيم الكمية والفضاء، وكذلك دراسة المجموعات الطوبولوجية التي تجمع بين الهيكل والفضاء. تستخدم زمرة لاي لدراسة الفضاء والبنية والتغيير. الطوبولوجيا في جميع تداعياتها العديدة ربما كانت أكبر منطقة نمو في الرياضيات في القرن العشرين؛ ويشمل طوبولوجيا مجموعة النقاط، طوبولوجيا نظرية المجموعة، طوبولوجيا جبرية وطوبولوجيا تفاضلية. على وجه الخصوص، حالات طوبولوجيا العصر الحديث هي نظرية ميتريزيشن، نظرية المجموعات البديهية، مثلية التوضع، ونظرية مورس. تتضمن الطوبولوجيا أيضًا حدسية بوانكاريه التي تم حلها مؤخرا، والمناطق التي لم يتم حلها بعد من حدسية هودج. النتائج الأخرى في الهندسة والطوبولوجيا، بما في ذلك مبرهنة الألوان الأربعة وحدسية كيبلر، قد ثبت فقط بمساعدة أجهزة الحاسوب.

هندسة رياضية حساب المثلثات هندسة تفاضلية طوبولوجيا هندسة كسيرية نظرية القياس

التغير

المقالة الرئيسة: تفاضل وتكامل

يعد فهم التغيير ووصفه موضوعًا شائعًا في العلوم الطبيعية، وقد تم تطوير حساب التفاضل والتكامل كأداة للتحقيق فيه. تنشأ وظائف هنا، كمفهوم مركزي يصف كمية متغيرة. تُعرف الدراسة الدقيقة للأعداد الحقيقية ووظائف المتغير الحقيقي بالتحليل الحقيقي، مع التحليل المركب للحقل المكافئ للأعداد المركبة. يركز التحليل الوظيفي الانتباه على مسافات الوظائف (عادة غير محدودة الأبعاد). واحدة من العديد من تطبيقات التحليل الدالي هي ميكانيكا الكم. تؤدي العديد من المسائل بشكل طبيعي إلى العلاقات بين كمية ما ومعدل التغير، ويتم دراستها على أنها معادلات تفاضلية. يمكن وصف العديد من الظواهر في الطبيعة بواسطة الأنظمة الديناميكية؛ تعمل نظرية الفوضى على تحديد الطرق التي تظهر بها العديد من هذه الأنظمة سلوكًا لا يمكن التنبؤ به ولكنه لا يزال محددًا.

تفاضل وتكامل تفاضل شعاعي معادلة تفاضلية تحليل مركب نظام تحريكي نظرية الشواش

الرياضيات التطبيقية

المقالة الرئيسة: رياضيات تطبيقية

تهتم الرياضيات التطبيقية بالطرق الرياضية التي تستخدم عادة في العلوم والهندسة والأعمال والصناعة. وهكذا، "الرياضيات التطبيقية" هي علم الرياضيات مع المعرفة المتخصصة. يصف مصطلح الرياضيات التطبيقية أيضًا التخصص المهني الذي يعمل فيه علماء الرياضيات على حل المسائل العملية؛ كمهنة تركز على المسائل العملية، تركز الرياضيات التطبيقية على "صياغة ودراسة واستخدام النماذج الرياضية" في العلوم والهندسة وغيرها من مجالات الممارسة الرياضية.

في الماضي، حفزت التطبيقات العملية على تطوير نظريات رياضية، والتي أصبحت بعد ذلك موضوع الدراسة في الرياضيات البحتة، حيث يتم تطوير الرياضيات في المقام الأول من أجلها. وهكذا، يرتبط نشاط الرياضيات التطبيقية ارتباطًا حيويًا بالبحث في الرياضيات البحتة.

الإحصاء وعلوم أخرى مساعدة على اتخاد القرارات

المقالة الرئيسة: إحصاء

تتداخل الرياضيات التطبيقية بشكل كبير مع مجال الإحصاء، حيث تصاغ نظريته رياضيا، خاصة مع نظرية الاحتمالات. يقوم الإحصائيون "بإنشاء بيانات منطقية" من خلال أخذ عينات عشوائية وتجارب عشوائية؛[81] يحدد تصميم العينة أو التجربة الإحصائية تحليل البيانات (قبل أن تتوفر البيانات). عند إعادة النظر في البيانات من التجارب والعينات أو عند تحليل البيانات من الدراسات القائمة على الملاحظة، فإن الإحصائيين "يفهمون البيانات" باستخدام فن النمذجة ونظرية الاستدلال مع اختيار النموذج وتقديره؛ يجب اختبار النماذج المقدرة والتوقعات المترتبة على البيانات الجديدة.

تدرس النظرية الإحصائية مشاكل اتخاذ القرار، مثل التقليل إلى الحد الأدنى (من الخسارة المتوقعة) في إجراء إحصائي، مثل استخدام إجراء، على سبيل المثال، اختبار الفرضيات، واختيار الأفضل. في هذه المجالات التقليدية للإحصاءات الرياضية، تتم صياغة مشكلة القرار الإحصائي عن طريق تقليل دالة موضوعية، مثل الخسارة أو التكلفة المتوقعة، في ظل قيود محددة: على سبيل المثال، ينطوي تصميم الاستقصاء في كثير من الأحيان على تقليل تكلفة تقدير متوسط عدد السكان باستخدام محدد معين.[82] نظرًا لاستخدامها في التحسين، تتقاسم النظرية الرياضية للإحصاء الاهتمامات مع علوم القرارات الأخرى، مثل بحوث العمليات، ونظرية التحكم، والاقتصاد الرياضي.[83]

الرياضيات الحسابية

تقترح الرياضيات الحسابية وتدرس أساليب لحل المسائل الرياضية التي تكون عادةً أكبر من قدرة الإنسان العددية. يدرس التحليل العددي طرق المسائل في التحليل باستخدام التحليل الوظيفي ونظرية التقريب؛ يشمل التحليل العددي دراسة التقريب والتقدير على نطاق واسع مع اهتمام خاص بأخطاء التقريب. التحليل العددي، وعلى نطاق أوسع، الحوسبة العلمية تدرس أيضًا موضوعات غير تحليلية في العلوم الرياضية، وخاصة المصفوفة الحسابية ونظرية الرسم البياني. مجالات أخرى من الرياضيات الحسابية تشمل الحساب الرمزي.

فيزياء رياضية جريان الموائع تحليل عددي الاستمثال نظرية الاحتمال إحصاء علم التعمية
رياضيات مالية نظرية الألعاب علم الأحياء الرياضي كيمياء رياضية الاقتصاد الرياضي نظرية التحكم

جوائز رياضية

إن أكثر الجوائز شهرة في مجال الرياضيات هي ميدالية فيلدز،[84][85] التي تأسست عام 1936 وتمنح كل أربع سنوات (باستثناء حوالي الحرب العالمية الثانية) لما يصل إلى أربعة أفراد. غالبًا ما تُعتبر ميدالية فيلدز (بجانب جائزة أبيل) معادلة لجائزة نوبل في الرياضيات.

نالت جائزة وولف في الرياضيات، التي تأسست عام 1978، تقديرًا للإنجاز مدى الحياة، وتم إنشاء جائزة دولية كبرى أخرى، وهي جائزة أبيل، عام 2003. وتم تقديم ميدالية تشيرن عام 2010 تقديراً للإنجازات الرياضية مدى الحياة. يتم منح هذه الجوائز تقديراً لمجموعة عمل معينة، والتي قد تكون ابتكارية، أو توفر حلاً لمسألة بارزة في مجال محدد.

في عام 1900 قام عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت بتجميع قائمة شهيرة تضم 23 مسألة مفتوحة، تسمى "مسائل هيلبرت". حققت هذه القائمة شهرة كبيرة بين علماء الرياضيات، وتم الآن حل معظم الأسئلة. تم نشر قائمة جديدة من سبع مسائل مهمة، بعنوان "جائزة مسائل الألفية"، في عام 2000. واحدة منها فقط، هي فرضية ريمان، تكررت أيضا في مسائل هيلبرت. إن حل أي من هذه المسائل يحمل مكافأة قدرها مليون دولار.[86]

انظر أيضاً


بعض من أشهر المعادلات الرياضية


المصادر والمراجع

مصادر

  • Monastyrsky، Michael (2001). "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical Society. اطلع عليه بتاريخ 2006-07-28. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الاستشهاد بدورية محكمة يطلب |دورية محكمة= (مساعدة) والوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)
  • Oakley، Barbara (2014). A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra). New York: Penguin Random House. ISBN:978-0-399-16524-5.

مراجع

  1. ^ مذكور في: قاموس ميريم ويبستر على الإنترنت. Merriam-Webster online dictionary entry: stem.
  2. ^ وصلة مرجع: https://pictmodelschool.com/Blogs/formal-science-its-like-magic-but-real/.
  3. ^ وصلة مرجع: https://www.jstor.org/stable/3028342?seq=2.
  4. ^ وصلة مرجع: https://parade.com/525493/marilynvossavant/is-math-an-exact-science/.
  5. ^ أ ب وصلة مرجع: https://www.google.com/books/edition/Modelling_Mathematical_Methods_and_Scien/pJAvWaRYo3UC?hl=en&gbpv=1.
  6. ^ وصلة مرجع: https://plus.maths.org/content/what-financial-mathematics.
  7. ^ وصلة مرجع: https://www.chino.k12.ca.us/cms/lib/CA01902308/Centricity/Domain/5698/lib-real-math-computers-37664-article_and_quiz.pdf.
  8. ^ أ ب "mathematics, n.". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. اطلع عليه بتاريخ 2012-06-16. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.
  9. ^ Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. ص. 4. ISBN:978-0-486-41712-7. Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.
  10. ^ LaTorre، Donald R.؛ Kenelly، John W.؛ Biggers، Sherry S.؛ Carpenter، Laurel R.؛ Reed، Iris B.؛ Harris، Cynthia R. (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. ص. 2. ISBN:978-1-4390-4957-0. Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.
  11. ^ Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. ص. 2.10. ISBN:978-0-07-066753-2. The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.
  12. ^ Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. ص. vii. ISBN:978-3-642-19532-7.
  13. ^ أ ب ت ث ج Mura, Roberta (ديسمبر 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics. ج. 25 ع. 4: 375–385. DOI:10.1007/BF01273907. JSTOR:3482762. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)
  14. ^ أ ب ت Tobies, Renate؛ Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. ص. 9. ISBN:978-3-0348-0229-1. [I]t is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط غير المعروف |lastauthoramp= تم تجاهله يقترح استخدام |name-list-style= (مساعدة)
  15. ^ Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–16. And summarized at Association for Supervision and Curriculum Development Archived October 28, 2010, at the Wayback Machine, www.ascd.org. نسخة محفوظة 26 سبتمبر 2018 على موقع واي باك مشين.
  16. ^ Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
  17. ^ Eves, p. 306
  18. ^ landinfo.com, definition of map projection نسخة محفوظة 11 سبتمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
  19. ^ Pyke، G. H. (1984). "Optimal Foraging Theory: A Critical Review". Annual Review of Ecology and Systematics. ج. 15: 523–575. DOI:10.1146/annurev.es.15.110184.002515.
  20. ^ Gallistel (1990). The Organization of Learning. Cambridge: The MIT Press. ISBN:0-262-07113-4.
  21. ^ Peterson, p. 12
  22. ^ Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Archived from the original on February 28, 2011. نسخة محفوظة 05 مايو 2019 على موقع واي باك مشين.
  23. ^ IREG Observatory on Academic Ranking and Excellence. IREG List of International Academic Awards (PDF). Brussels: IREG Observatory on Academic Ranking and Excellence. اطلع عليه بتاريخ 2018-03-03.
  24. ^ Zheng، Juntao؛ Liu، Niancai (2015). "Mapping of important international academic awards". Scientometrics. ج. 104: 763–791. DOI:10.1007/s11192-015-1613-7.
  25. ^ Ball, Philip. "Iranian is first woman to nab highest prize in maths". Nature (بالإنجليزية). DOI:10.1038/nature.2014.15686.
  26. ^ "Fields Medal". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. مؤرشف من الأصل في 2019-03-22. اطلع عليه بتاريخ 2018-03-29.
  27. ^ "Fields Medal". The University of Chicago (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-04-07. Retrieved 2018-03-29.
  28. ^ Dehaene، Stanislas؛ Dehaene-Lambertz، Ghislaine؛ Cohen، Laurent (أغسطس 1998). "Abstract representations of numbers in the animal and human brain". Trends in Neurosciences. ج. 21 ع. 8: 355–61. DOI:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. PMID:9720604. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)
  29. ^ See, for example, Raymond L. Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study, passim
  30. ^ Kline 1990, Chapter 1.
  31. ^ Boyer 1991، "Mesopotamia" p. 24–27.
  32. ^ Heath، Thomas Little (1981) [originally published 1921]. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. New York: Dover Publications. ISBN:978-0-486-24073-2.
  33. ^ Boyer 1991، "Euclid of Alexandria" p. 119.
  34. ^ Boyer 1991، "Archimedes of Syracuse" p. 120.
  35. ^ Boyer 1991، "Archimedes of Syracuse" p. 130.
  36. ^ Boyer 1991، "Apollonius of Perga" p. 145.
  37. ^ Boyer 1991، "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.
  38. ^ Boyer 1991، "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.
  39. ^ الخوارزمي، محمد بن موسى (1986). علي مصطفى مشرفة، محمد مرسي أحمد (المحرر). كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة (ط. الأولى). القاهرة: الجامعة المصرية ودار الكاتب العربي.
  40. ^ تاريخ الرياضيات، موقع شمسنا العربية، ص9-10 نسخة محفوظة 03 يونيو 2016 على موقع واي باك مشين.
  41. ^ Sevryuk 2006، صفحات 101–09.
  42. ^ أ ب "mathematic". قاموس علم اشتقاق الألفاظ. مؤرشف من الأصل في مارس 7, 2013.
  43. ^ Both senses can be found in Plato. μαθηματική. هنري جورج ليدل; روبرت سكوت; A Greek–English Lexicon في مشروع بيرسيوس
  44. ^ أ ب Boas, Ralph (1995) [1991]. "What Augustine Didn't Say About Mathematicians". Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr. Cambridge University Press. ص. 257.
  45. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology, قاموس أكسفورد الإنجليزي, sub "mathematics", "mathematic", "mathematics"
  46. ^ "maths, n." and "math, n.3". Oxford English Dictionary, on-line version (2012).
  47. ^ مصطلح الرياضيات - معجم المعاني الجامع نسخة محفوظة 28 سبتمبر 2015 على موقع واي باك مشين.
  48. ^ رياضة أم رياضيات؟
  49. ^ Franklin، James (8 يوليو 2009). Philosophy of Mathematics. ص. 104. ISBN:978-0-08-093058-9.
  50. ^ ماركوس دو سوتوي, A Brief History of Mathematics: 1. Newton and Leibniz نسخة محفوظة December 6, 2012, على موقع واي باك مشين., راديو بي بي سي 4, September 27, 2010.
  51. ^ أ ب Waltershausen, p. 79
  52. ^ Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), p. 14, Basel, Birkhäuser (1992).
  53. ^ Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "How can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" This question was inspired by Eugene Wigner's paper "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences".
  54. ^ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. American Mathematical Society (1991 reprint). ص. 285–86. ISBN:978-0-8218-2102-2.
  55. ^ أ ب ت Snapper، Ernst (سبتمبر 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine. ج. 52 ع. 4: 207–16. Bibcode:1975MathM..48...12G. DOI:10.2307/2689412. JSTOR:2689412. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)
  56. ^ Peirce, Benjamin (1882). Linear Associative Algebra. ص. 1. مؤرشف من الأصل في سبتمبر 6, 2015.
  57. ^ Russell، Bertrand (1903). The Principles of Mathematics. ص. 5.
  58. ^ Curry, Haskell (1951). Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. Elsevier. ص. 56. ISBN:978-0-444-53368-5.
  59. ^ du Sautoy، Marcus (يونيو 25, 2010). "Nicolas Bourbaki". A Brief History of Mathematics. وقع ذلك في min. 12:50. BBC Radio 4. مؤرشف من الأصل في ديسمبر 16, 2016. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 26, 2017. {{استشهاد بحلقة}}: الوسيط غير المعروف |deadurl= تم تجاهله (مساعدة)
  60. ^ Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "How can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" This question was inspired by يوجين ويغنر's paper "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences".
  61. ^ Shasha, Dennis Elliot؛ Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. ص. 228.
  62. ^ Popper 1995, p. 56
  63. ^ Imre Lakatos (1976), Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press.
  64. ^ "Gábor Kutrovátz, "Imre Lakatos's Philosophy of Mathematics"" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2018-07-13. اطلع عليه بتاريخ 2018-05-08.
  65. ^ See, for example بيرتراند راسل's statement "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty ..." in his History of Western Philosophy
  66. ^ Meinhard E. Mayer (2001). "The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus". Physics Today. ج. 54 ع. 8: 48. Bibcode:2001PhT....54h..48J. DOI:10.1063/1.1404851.
  67. ^ Wigner، Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics. ج. 13 ع. 1: 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. DOI:10.1002/cpa.3160130102. مؤرشف من الأصل في فبراير 28, 2011. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة) والوسيط غير المعروف |deadurl= تم تجاهله (مساعدة)
  68. ^ "Mathematics Subject Classification 2010" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في مايو 14, 2011. اطلع عليه بتاريخ نوفمبر 9, 2010.
  69. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-42706-7.
  70. ^ Gold, Bonnie؛ Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA.
  71. ^ "Earliest Uses of Various Mathematical Symbols". مؤرشف من الأصل في فبراير 20, 2016. اطلع عليه بتاريخ سبتمبر 14, 2014.
  72. ^ Kline, p. 140, on ديوفانتوس الإسكندري; p. 261, on فرانسوا فييت.
  73. ^ Oakley 2014, p. 16: "Focused problem solving in math and science is often more effortful than focused-mode thinking involving language and people. This may be because humans haven't evolved over the millennia to manipulate mathematical ideas, which are frequently more abstractly encrypted than those of conventional language."
  74. ^ Oakley 2014, p. 16: "What do I mean by abstractness? You can point to a real live cow chewing its cud in a pasture and equate it with the letters c–o–w on the page. But you can't point to a real live plus sign that the symbol '+' is modeled after – the idea underlying the plus sign is more abstract."
  75. ^ Oakley 2014, p. 16: "By encryptedness, I mean that one symbol can stand for a number of different operations or ideas, just as the multiplication sign symbolizes repeated addition."
  76. ^ Ivars Peterson, The Mathematical Tourist, Freeman, 1988, (ردمك 0-7167-1953-3). p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).
  77. ^ "The method of 'postulating' what we want has many advantages; they are the same as the advantages of theft over honest toil." بيرتراند راسل (1919), Introduction to Mathematical Philosophy, New York and London, p. 71. نسخة محفوظة June 20, 2015, على موقع واي باك مشين.
  78. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, (ردمك 0-486-61630-4). p. 1, "Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects."
  79. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.
  80. ^ Clay Mathematics Institute, P=NP, claymath.org نسخة محفوظة 08 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
  81. ^ Rao, C.R. (1997) Statistics and Truth: Putting Chance to Work, World Scientific. (ردمك 981-02-3111-3)
  82. ^ Rao، C.R. (1981). "Foreword". في Arthanari، T.S.؛ Dodge، Yadolah (المحررون). Mathematical programming in statistics. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: Wiley. ص. vii–viii. ISBN:978-0-471-08073-2. MR:0607328. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)
  83. ^ Whittle (1994, pp. 10–11, 14–18): Whittle، Peter (1994). "Almost home". في Kelly، F.P. (المحرر). Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle (ط. previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory upto 1993 (revised 2002)"). Chichester: John Wiley. ص. 1–28. ISBN:978-0-471-94829-2. مؤرشف من الأصل في ديسمبر 19, 2013. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)
  84. ^ Monastyrsky 2001، صفحة 1: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."
  85. ^ Riehm 2002، صفحات 778–82.
  86. ^ Arthur M. Jaffe "The Millennium Grand Challenge in Mathematics", "Notices of the AMS", June/July 2000, Vol. 53, Nr. 6, p. 652-660 نسخة محفوظة 16 مايو 2018 على موقع واي باك مشين.

وصلات خارجية

مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=رياضيات&oldid=36942653»