خماسي أضلاع

  ميّز عن بنتاغون.

مخمس منتظم
مخمس منتظم
أضلاع ورؤوس	5
رمز شليفلي	{5}
مخطط كوكستير-دينكين
مجموعة التناظر	تناظر ثنائي السطوح (D5)
زاوية داخلية (درجة)	108°
خصائص	محدب، مضلع دائري، منتظم، رأسي، متعدي الحافة

الصفحة 34 من كتاب فيما یحتاج إليه الصانع من أعمال الهندسة لأبي الوفاء البوزجاني حيث يذكر فيها كيفية رسم مخمس في دائرة

في الهندسة الرياضية، المُخَمَّس أو خُمَاسِيّ الأَضْلاَعِ (بالإنجليزية: Pentagon)‏ هو مضلع له خمسة أضلاع.. مجموع الزوايا الداخلية لخماسي أضلاع بسيط يساوي 540 درجة.

قد يكون خماسي الأضلاع بسيطا وقد يكون ذاتي التقاطع. خماسي ذاتي التقاطع يسمى نجمة خماسية.

الخماسي المنتظم

خطوات إنشاء المخمس باستخدام الفرجار والمسطرة.

• الزاوية الداخلية للخماسي تساوي 108°.

مساحة خماسي منتظم

• تعطى مساحة المخمس ذو طول الضلع t بالعلاقة التالية:

$A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\cdot \tan(54^{\circ })}{4}}\ \approx 1.720477401\,t^{2}.$

تعطى مساحة المخمس بدلالة نصف قطر الدائرة المحاطة داخله r بالعلاقة:

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ \approx 1.17557050458R$.

شعاع الدائرة المحيطة

• يعطى نصف قطر الدائرة المحيطة R بالعلاقة:

$R={\frac {\sin(54^{\circ })a}{\sin(72^{\circ })}}\ \approx 0.85065a$

إنشاء خماسي منتظم

المخمس هو مضلع قابل للإنشاء باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. ويعود ذلك إلى كون 5 عددا أوليا لفيرما. هناك العديد من الطرق اللائي يمكنن من إنشاء خماسي منتظم. منهن ما يلي.

دوائر كارليل

المقالة الرئيسة: دائرة كارليل

رسم خماسي باستعمال دوائر كارليل

البرهان على أن cos 36° = ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$

$0=\cos 90^{\circ }$

$=\cos(72^{\circ }+18^{\circ })$

$=\cos 72^{\circ }\cos 18^{\circ }-\sin 72^{\circ }\sin 18^{\circ }$ (باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)

$=(2\cos ^{2}36^{\circ }-1){\sqrt {\tfrac {1+\cos 36^{\circ }}{2}}}-2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }{\sqrt {\tfrac {1-\cos 36^{\circ }}{2}}}$ (باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)

ليكن u = cos 36°. أولا لاحظ أن

0 < u < 1 (والتي ستساعدنا في التبسيط أثناء العمل). الآن،

${\begin{aligned}0&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}-2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}\\2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}\\2{\sqrt {1+u}}{\sqrt {1-u}}\cdot u{\sqrt {1-u}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {1+u}}\\2u(1-u)&{}=2u^{2}-1\\2u-2u^{2}&{}=2u^{2}-1\\0&{}=4u^{2}-2u-1\\u&{}={\frac {2+{\sqrt {(-2)^{2}-4(4)(-1)}}}{2(4)}}\\u&{}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\end{aligned}}$

أمثلة عن الخماسيات

نباتات

• 
  المقطع العرضي للبامية.
• 
  مجد الصباح، مثل العديد من الزهور الأخرى ، لها شكل خماسي.
• 
  يحتوي متاع التفاح على خمس نقرات ، مرتبة بنجمة ذات خمس فروع.
• 
  فاكهة النجمة

حيوانات

• 
  A نجم البحر. مجموعة من شوكيات الجلد لها تماثل خماسي.
• 
  بيان ل نجم البحر الهش، أيضا من شوكيات الجلد اللائي لهن شكل خماسي.

معادن

• 
  A Ho-Mg-Zn icosahedral quasicrystal formed as a pentagonal اثنا عشري سطوح. The faces are true regular pentagons.
• 
  A اثنا عشري سطوح crystal of بيريت. A pyritohedron has 12 identical pentagonal faces that are not constrained to be regular.

إنشاءات إنسانية

• 
  بنتاغون, المقر الرئيسي لوزارة دفاع الولايات المتحدة.
• 
  Home plate of a ملعب كرة القاعدة
• 
  كرة قدم أديداس تيليستار، باللونين المعتادين الأبيض والأسود. هي على شكل عشروني أوجه مقطع الرؤوس. ابتكرت في عام 1970. الأشكال السوداء هن خماسيات أضلاع.

انظر أيضا

• نسبة ذهبية
• قائمة الأشكال الهندسية
• عدد مخمسي
• نجمة خماسية
• مبرهنة فيثاغورس