مبرهنة كلفن-ستوكس

  ميّز عن مبرهنة ستوكس.

رسم توضيحي لمبرهنة كلفن-ستوكس, مع السطح Σ, وحدوده ∂Σ والمتجه الناظمي n.

مبرهنة كلفن–ستوكس، سميت نسبةً للرياضياتيين لورد كلفن وجورج ستوكس، معروفة أيضًا باسم مبرهنة ستوكس، أو مبرهنة ستوكس الأساسية للدوران أو ببساطة مبرهنة الدوران،هي مبرهنة في حساب المتجهات على $\mathbb {R} ^{3}$. بالنظر إلى حقل متجهي، تربط المبرهنة تكامل دوران الحقل المتجهي على بعض السطح، بالتكامل الخطي للحقل المتجهي حول حدود السطح.

إذا كان الحقل المتجهي$\mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ معرفة في منطقة ذات سطح ناعم موجه $\Sigma$ وله مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الأولى، فإن:

${\begin{aligned}\iint \limits _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {a} &=\iint \limits _{\Sigma }{\Bigg (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy{\Bigg )}\\&=\oint \limits _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}=\oint \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ,\end{aligned}}$

حيث $\partial \Sigma$ هي حدود المنطقة ذات سطح ناعم $\Sigma$.

يمكن ذكر مبرهنة كلفن-ستوكس الكلاسيكية المذكورة أعلاه في جملة واحدة: التكامل الخطي لحقل متجه على عُرْوة (Loop) يساوي تدفق دورانه من خلال السطح المغلق.

مبرهنة كلفن-ستوكس هي حالة خاصة لمبرهنة ستوكس المعممة. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار حقل المتجه على $\mathbb {R} ^{3}$ كأحادي الصورة وفي هذه الحالة يكون دورانه هو مشتقه الخارجي، ثنائي الصورة.