نصف قطر بور

بالنسبة لذرة الهيدروجين حسب نموذج نيلس بور، نصف قطر بور هو بعد المسافة بين الإلكترون عن نواة ذرة الهيدروجين (أي البروتون ) . وطبقا للنظرية الموجية للإلكترون كما تصفها ميكانيكا الكم فإن حل معادلاتها يعطي نصف قطر بور ، وهو يعادل بالتقريب نصف القطر الحقيقي لمدار الإلكترون في ذرة الهيدروجين. وقد سمي نصف قطر بوهر تخليدا للعالم نيلس بور (أو نيلس بوهر ) الذي اقترح النموذج الذري لذرة الهيدروجين في أوائل القرن الماضي .

$a_{0}\ =\ {\frac {h^{2}\varepsilon _{0}}{\pi m_{e}q_{e}^{2}}}$

حيث أن:

• $h$ هي ثابتة بلانك
• $\varepsilon _{0}$ permittivity في الفراغ
  • $\epsilon _{0}=8{,}854\ 187\ 817\dots \times 10^{-12}$ F·m^-1.
• $m_{e}$ هي كتلة الإلكترون
• $q_{e}$ هي شحنة الإلكترون

حساب نصف قطر بوهر

بالتعويض عن الثوابت في معادلة نصف القطر لذرة الهيدروجين وباستخدام الثوابت طبقا ل لجنة بيانات العلوم والتكنولوجيا ، مع استخدام المعادلة الدقيقة لنصف القطر التي تأخذ ثابت البناء الدقيق لذرة الهيدروجين ، نحصل على :

$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{e}\,c\,\alpha }}$

where:

$\epsilon _{0}\$ سماحية الفراغ الكهربائية

$\hbar \$ ثابت بلانك المعدل

$m_{e}\$ كتلة الإلكترون

$e\$ الشحنة الأولية

$c\$ سرعة الضوء في الفراغ

$\alpha \$ ثابت البناء الدقيق لذرة الهيدروجين .

بالتعويض عن القيم نحصل على:

نصف قطر ذرة الهيدروجين = 5.2917720859 ×10⁻¹¹ متر

أي بالتقريب 53 نانومتر أو 0.53 أنجستروم.

ورغم أن النموذج الذري لبوهر لم يكن آنذاك يصف ذرة الهيدروجين بدقة كاملة فإن نصف قطر بوهر لا يزال محتفظا بقيمته للتعبير عن مقاييس الغلاف الإلكتروني في الذرات عند حسابها باستخدام ميكانيكا الكم التفصيلية . ولذلك فيستخدم نصف قطر بوهر كوحدة في الفيزياء الذرية.

وجدنا نصف قطر بور 53و0 أنجستروم، أي نحو نصف أنجستروم ولذلك فالأنجستروم هو وحدة مناسبة لوصف المسافات بين الذرات في المواد الصلبة والسائلة ، وعلى الأخص عند دراسة البناء البلوري للمعادن و المركبات الكيميائية و والمركبات العضوية .

كتلة الإلكترون المخفضة

يلاحظ أنه عند حساب نصف قطر بوهر استخدمنا كتلة الإلكترون عوضا عن كتلة الإلكترون المخفضة (التي تراعي ارتباط الإلكترون بالبروتون في الذرة) . لذلك من أجل الحصول على نصف قطر بوهر بدقة أكبر فلا بد من استخدام كتلة الإلكترون المصغرة.

واننا نقوم بذلك التعديل حيث أن نصف قطر بوهر يدخل في تعيين نصف قطر مدار الإلكترون في الذرات الكبيرة أيضا ، وفيها تختلف كتلة الإلكترون المخفضة عن مقدارها في ذرة الهيدروجين . ذلك لأن كتلة الإلكترون المخفضة تعتمد على كتلة نواة الذرة التي يدور حولها الإلكترون .

وينتمي نصف بوهر للإلكترون إلى وحدتي طول آخرتين تتعلقان بكتلة الإلكترون و خاصيته الموجية ، وهما :

طول موجة كومبتون للإلكترون = $\lambda _{e}\$

نصف القطر الكلاسيكي (ميكانيكا كلاسيكية) للإلكترون = $r_{e}\$.

ويعين نصف قطر بوهر من كتلة الإلكترون $m_{e}$ و ثابت بلانك $\hbar \$ و شحنة الإلكترون $e\$.

كما نعين طول موجة كومبتون للإلكترون من $m_{e}\$, $\hbar \$ و سرعة الضوء $c\$.

ونعين نصف القطر الكلاسيكي للإلكترون من $m_{e}\$ و $c\$ و $e\$.

وكل طول من تلك الأطوال يمكن كتابته باستخدام ثابت البناء الدقيق $\alpha \$ للذرة ، فنحصل على:

$r_{e}={\frac {\alpha \lambda _{e}}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.$

وبأخذ تأثير كتلة الإلكترون المصغرة في الاعتبار فيمكننا حساب نصف قطر بوهر بالمعادلة:

$\ a_{0}^{*}\ ={\frac {\lambda _{p}+\lambda _{e}}{2\pi \alpha }},$

حيث

$\lambda _{p}\$ طول موجة كومبتون للبروتون .

$\lambda _{e}\$ طول موجة كومبتون للإلكترون .

$\alpha \$ ثابت البناء الدقيق للذرة .

وبذلك نكون قد أخذنا تأثير كتلة الإلكترون المخفضة (أي الإلكترون المرتبط بالذرة وليس حرا) في الحسبان عن طريق استخدام طول موجة كومبتون للإلكترون و التي يزيد طولها قليلا عن عن طول موجة كومبتون للإلكترون الحر . ولحساب طول موجة كومبتون للإلكترون في ذرة الهيدروجين نجمع طول موجة كومبتون للإلكترون إلى طول موجة كومبتون للبروتون.

اقرأ أيضا

• ميكانيكا الكم
• نموذج بور
• قائمة مواضيع الكم
• تموج كمومي
• مبدأ عدم التأكد
• حالة قاعية
• تحلل ألفا

وصلات خارجية

• ميكانيكا الكم (موسوعة ستانفورد للفلسفة)
• ملاحظات حول ميكانيكا الكم
• ميكانيكا الكم
• كل شيء تريد معرفته عن العالم الكمومي — من مجلة العالم الجديد.
• تاريخ ميكانيك الكم
• ديفيد ميرمين يكتب عن التوجهات المستقبلية للفيزياء
• تطورات جديدة في فهم العلاقة بين الفيزياء الكلاسكية-الكمومية
• المرشد للفيزياء الكمومية
• أسئلة متكررة حول الرنين الكمومي
• مجموعة دروس قابلة للتنزيل حول ميكانيك الكم
• مقدمة للميكانيك الكمومي
• “Quantum Trickery: Testing Einstein's Strangest Theory,” نيويورك تايمز, 27 ديسمبر, 2005.
• محاضرات ثلاث لهانز بيثي