ميكانيكا لاغرانج

ميكانيك لاغرانج Lagrangian mechanics عبارة عن إعادة صياغة للمكيانيك الكلاسيكي قدمه جوزيف لويس لاغرانج عام 1788. في ميكانيك لاغرانج، مسار الجسم يشتق بإيجاد المسلك الذي يقلل الفعل action، وهو مقدار يعتبر تكامل لكمية ندعوها لاغرانجي Lagrangian على الزمن. اللاغرانجي بالنسبة للميكانيك الكلاسيكي يعتبر الفرق بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة.

هذا الموضوع يبسط بصورة كبيرة الكثير من المسائل الفيزيائية. مثلا كرة صغيرة في حلقة. إذا قمنا بالحساب على أساس الميكانيك النيوتني، سيحصل المرء على مجموعة معقدة من المعادلات التي ستأخذ بعين الاعتبار القوى التي تؤثر بها الدوامة على الكرية في كل لحظة.

نفس هذه المسألة تصبح أسها باستخدام ميكانيك لاغرانج. حيث ينظر المرء إلى جميع الحركات الممكنة التي تقوم بها الكرية على الدوامة ويجد رياضيا الحركة التي تقلل الفعل إلى أدنى حد. بالتالي يكون لدينا عدد أقل من المعادلات لأنها لا تمثل حسابا مباشرا لتأثير الدوامة على الكرية عند كل لحظة.

معادلات لاغرانج

لنعتبر جسيما مفردا ذو كتلة m وشعاع موضع r. تطبق عليه قوة F، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذه القوة على أنها تدرج تابع الطاقة الكامنة القياسي (V(r, t:

$\mathbf {F} =-\nabla V.$

مثل هذه القوة تكون مستقلة عن المشتق الثالث أو المشتقات الأعلى رتبة لشعاع الموضع r، لذا فإن هذه قانون نيوتن الثاني يشكل مجموعة من ثلاث معادلات تفاضلية نظامية من الرتبة الثانية.

لذا فإن حركة هذا الجسيم يمكن وصفها بدلالة متغيرات مستقلة أو ما يدعى " درجات حرية ". درجات الحرية هذه هي مجموعمة من ستة متغيرات :

{ r_j, r′_j | j = 1, 2, 3},

المركبات الديكارتية لشعاع الموضع r ومشتقاته الزمنية (مشتقاته بالنسبة للزمن), في لحظة زمنية معينة أي أن الموضع (x,y,z) والسرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة :

((vx,vy,vz)).

بشكل أعم، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة ، q_j, مع مشتقاتها الزمنية، أو ما يدعى بالسرع معممة، q′_j.

يرتبط شعاع الموضع r مع الإحداثيات المعممة عن طريق جملة معادلات تحويل

خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle \mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i، q_j، q_k, t).}

فمثلا من أجل نواس بسيط ذو طول l، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية النواس التي يصنعها مع خطه الشاقولي (العمودي)، θ,

وتكون معادلات التحويل :

$\mathbf {r} (\theta ,\theta ',t)=(l\sin \theta ,l\cos \theta )$.

مصطلح إحداثيات معممة أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي.

لنعتبر الإزاحة الاعتبارية للجسم δr فيكون العمل المنجز من قبل القوة F هو :

δW = F · δr.

باستخدام قانون نيوتن الثاني يمكننا أن نكتب :

${\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&m\mathbf {r} ''\cdot \delta \mathbf {r} .\end{matrix}}$

بما أن العمل كمية فيزيائية قياسية (كمية وليست شعاعية) يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلات بدلالة الإحداثيات المعممة والسرع على الجانب الأيسر.

${\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\nabla V\cdot \sum _{i}{\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i,j}{\partial V \over \partial r_{j}}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i}{\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}$

عملية تنسيق الجانب الأيمن أكثر صعوبة لكن بعد الترتيب والتبديل :

$m\mathbf {r''} \cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_{i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}$

حيث هي الطاقة الحركية للجسيم T = 1/2 m r′ ². ومعادلة العمل المنجز ستصبح بالشكل :

$\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.$

على أي حال، فإن هذا يجب أن يكون صحيحا بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δq_i, لذا يكون لدينا :

$\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]=0$

من أجل أي من الإحداثيات المعممة δq_i.

يمكننا أن نبسط هذه المعادلة بملاحظة V أن هو تابع ل r وt, وشعاع الموضع r تابع أيضا للإحداثيات المعممة والزمن t لذا فإن الطاقة الكامنة V تكون مستقلة عن السرع المعممة

${d \over dt}{\partial {V} \over \partial {q'_{i}}}=0.$

بإدخال هذا في المعادلة السابقة واستبدال L = T - V نحصل على معادلات لاغرانج :

${\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {q'_{i}}}.$

هناك دوما معادلة لاغرانج وحيدة لكل إحداثي معمم q_i. وعندما يكون q_i = r_i (أي أن الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية), عندئذ نستطيع بسهولة اختزال معادلة لاغرانج إلى قانون نيوتن الثاني.

الاشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من N جسيم. عندئذ يكون هناك 6N إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3N. في معادلات لاغرانج 3N يكون دوما T هو الطاقة الحركية الكلية للجملة، وV الطاقة الكامنة الكلية.

عمليا من الأسهل حل المسألة ياستخدام معادلة اويلر-لاغرانج بدلا من قوانين نيوتن. ذلك لأن الإحداثيات المعممة q_i يمكن اختيارها لتلائم تناظرات النظام.