كسر مستمر

في علم الرياضيات, الكسر المستمر continued fraction هو كسر يمكن أن يأخذ الصيغة:

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}$

حيث a₀ عدد صحيح والاعداد a_i (i ≠ 0) هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.

اذا سمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي ان تفرض قيما اختيارية، والتي يمكن ان تكون دوال رياضية, يصبح التعبير الناتج كسر مستمر معمم.

تحفيز

إن الهدف الرئيسي من وجود الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية.

الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأرقام العشرية والتي تعرف بالعلاقة:

$r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i},$

حيث a₀ عدد صحيح, وكل a_i اخر هو عنصر في {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل, يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (a_i) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. احدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن الرقم 415/93, يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624. وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4, وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2, تقريبا 2 + 1/6, أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2, 6, 7].

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:

• تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
• تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
• لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
• تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
• بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
• تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

حساب تمثيل الكسور المستمرة

ليكن لدينا العدد الحقيقي r. وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري لـ r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …], حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد r, اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0, توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وإذا فقط كان r نسبي.

أوجد صورة الكسر المستمر للعدد 3.245
$3\,$	$3.245\ \left(3{\tfrac {49}{200}}\right)-3\,$	$=0.245\ \left({\tfrac {49}{200}}\right)\,$	$1/0.245\ \left({\tfrac {200}{49}}\right)\,$	$=4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)\,$
$4\,$	$4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)-4\,$	$=0.082\ \left({\tfrac {4}{49}}\right)\,$	$1/0.082\ \left({\tfrac {49}{4}}\right)\,$	$=12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)\,$
$12\,$	$12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)-12\,$	$=0.250\ \left({\tfrac {1}{4}}\right)\,$	$1/0.250\ \left({\tfrac {4}{1}}\right)\,$	$=4.000\,$
$4\,$	$4.000-4\,$	$=0.000\,$	توقف
الكسر المستمر لـ 3.245 هو [3; 4, 12, 4]
$3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}$

صور الكسور المستمرة

$x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;$

أو

$x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}.$

أو

$x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+{}}{1 \over a_{3}+{}}.$

وأحيانا

$x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle .\;$

أو

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].$

الكسور المستمرة المنتهية

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;$

مثل,

$2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],\;$

$-4.2=-21/5=[-5;1,3,1]=[-5;1,4].\;$

الكسور المستمرة للمقاليب

مثل,

$2.25={\frac {9}{4}}=[2;4],\;$

${\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4].\;$

الكسور المستمرة الغير منتهية

${\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.$

وبصيغة أخرى:

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.$

وتكون الصيغ المتقاربة

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.$

نظريات مفيدة

إذا كان a₀, a₁, a₂,... متوالية من الأعداد الموجبة, تعرف التعاقب $h_{n}$ و$k_{n}$ بالمعاودة:

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}\,$			$h_{-1}=1\,$		$h_{-2}=0\,$
$k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\,$			$k_{-1}=0\,$		$k_{-2}=1\,$

نظرية 1

لاي $x\in \mathbb {R}$ موجب

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.$

نظرية 2

التقاربات [a₀; a₁, a₂,...]تعطى بالعلاقة

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.$

نظرية 3

اذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو $h_{n}/k_{n}$، حينئذ

$k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,$

نشر π في كسر مستمر

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots$

${\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1\times 7}}-{\frac {1}{7\times 106}}+{\frac {1}{106\times 113}}-\cdots$

الصورة المختصرة:

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]$

أو

$\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

$\pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}$

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

$e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]\,\!.$

ولدينا أيضا, عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,

$\exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]\,\!.$

اذا كانت n ّعدد فردي

$\exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3k+(n-1)/2,(12k+6)n,3k+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!$

الحالة الخاصة عند n = 1:

$e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.$

الكسر المستمر للظل المقلوب

$\tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!$

حيث n عدد صحيح موجق; كذلك

$\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15\dots ]\,\!$

و

$\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]\,\!.$

اذا كانت I_n(x) هي, دالة بسل المعدلة من النوع الأول يمكننا تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q

$S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},$

المراجع

• انظر المقالة الإنكليزية