كواترنيون

في علم الرياضيات يشار إلى الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion)‏ بأنه امتداد عملية غير تبديلية للأعداد العقدية. تم وصف الكواتيرنيون من قبل السير ويليام هاميلتون في عام1843 وطبقهم على الميكانيك في الفضاء الثلاثي الأبعاد. في البداية تم اعتبار الكواتيرنيون كعنصر غير مفيد لأنها تخالف قانون العملية التبديلية ab = ba. على الرغم أنه تم الاستعاضة عنهم في كثير من التطبيقات بالأشعة والمصفوفات، إلا ما زال يوجد لهم العديد من الاستخدامات في الرياضيات النظرية والتطبيقية، بشكل خاص الحسابات المتعلقة بالدوران الثلاثي الأبعاد كما في الرسوميات الحاسوبية الثلاثية الأبعاد.

في العصر الحديث يشار إلى الكواترنيون بالرمز الجبري H نسبة إلى العالم هاميلتون أو باستخدام الرمز العريض $\mathbb {H}$.

التعريف

تعرف الكواتيرنيون على شكل حلقة

$\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

وتكون عملية الجمع على الشكل التالي:

$(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,$

$=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k\,$

وعملية الطرح كما يلي:

$(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,$

وباستخدام قانون التوزيع وتطبيق العلاقات المعرفة ينتج لدينا:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\,$

بحيث أن كل كواتيرنيون هي علاقة خطية حقيقية متفردة للزمر الرباعية الأساسية 1, i, j, k.

الخصائص

الجداء البسيط

من أجل أي كواتيرنيون تعطى الصيغ الأساسية لجداء عوامل الكواتيرنيون على الشكل التالي:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,$

حيث i, j, k وتلخص جداءات العناصر الرئيسية للكواتيرنيونات في الجدول التالي:

${\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}$

على سبيل المثال: بما أن

$-1=ijk,\,\!$

فإن حاصل الجداء اليميني لكلا طرفي المعادلة بـ k يعطي:

${\begin{matrix}-k&=&ijkk,\\-k&=&ij(-1),\\k&=&ij.\end{matrix}}\,\!$

وبمثل هذه الطريقة يتم الحصول على كامل جدول الضرب. على خلاف جداء الأعداد الحقيقية أو العقدية، فإن جداء الكواتيرنيون ليس عملية تبديلية مثلاً $ij=k$, بينما $ji=-k$. إن الخاصة اللاتبديلية لجداء الكواتيرنيون له خصائص غير متوقعة، مثلاً فإن المعادلات متعددة الحدود الممثلة على شكل كواتيرنيونات من الممكن أن يكون لها عدد حلول فريدة أكثر من درجة المعادلة. مثلاً المعادلة

$z^{2}+1=0$ 

تملك عدد حلول لانهائي للكواتيرنيون تعطى بالعلاقة

$z=bi+cj+dk$ حيث $b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ 

حيث تمثل مجموعة الحلول كرة واحدية متمركزة في الفضاء العقدي الثلاثي الأبعاد الذي هو فضاء جزئي من فضاء الكواتيرنيون، وتقطع هذه الكرة المستوي العقدي فقط عند قطبيها $i$ و$-i$.