نظام الإحداثيات الإهليلجية

نظام إحداثيات إهليلجي

في الهندسة الرياضية، نظام الإحداثيات الإهليلجية هو نظام إحداثيات متعامد ثنائي الأبعاد تكون فية خطوط الإحداثيات إهليلجية متّحدة البؤر ووقطوع زائدة . بؤرتا القطع الناقص $F_{1}$ و$F_{2}$ إجْمالاً تستخرج لتكون ثابتة في $-a$ و $+a$ على التوالي، على $x$ محور نظام الإحداثيات الديكارتية.

التعريف الأساسي

التعريف الأكثر شيوعًا للإحداثيات الإهليلجية $(\mu ,\nu )$ هو

$x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu$

$y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$

$\mu$ هو رقم حقيقي غير سالب و $\nu \in [0,2\pi ]$. على المستوي المركب، والعلاقة المكافئة هي

$x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )$

هذه التعاريف مع تتوافق القطع الناقص والقطع الزائد . التطابق المثلثي

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

يدل على منحنيات ثابتة $\mu$ من القطوع الناقصة في حين أن المنحنى زائدي المقطع متطابق

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

يدل على منحنيات ثابتة $\nu$ من القطوع الزائدة .

عوامل القياس

في الإحداثيات المتعامدة تعرف أطوا متجهات القواعد بعوامل القياس. وعوامل قياس الإحداثيات الإهليلجية $(\mu ,\nu )$ تساوي:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.$

استخدام متغير الدوال الزائدية والدوال المثلثية، يمكن التعبير عن عوامل القياس بالتساوي كالتالي

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.$

وبالتالي، العنصر الا متناهي الصغر للمسساحة يساوي

$dA=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu$

ودالة لابلاس تفسر

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).$

العوامل التفاضلية الأخرى مثل $\nabla \cdot \mathbf {F}$ و $\nabla \times \mathbf {F}$ يمكن التعبير عنها في الإحداثيات $(\mu ,\nu )$ عن طريق الاستعاضة عنها بعوامل القياس في الصيغة العامة الموجودة في الإحداثيات المتعامدة.