من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة. مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.
نهاية الدوال بوجه عام[عدل]
إذا كان
و
، فإن:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb00a9174f995bae626da947886d0229d14b275)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d8693d558a7dfc0f5f0c5900a05dd950f6f7f1)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ca17538239f7d7b577d321a25e0fee422f1383)
إذا كان n عدد صحيح موجب.
إذا كان n عدد صحيح موجب، وإذا كان a عدد زوجي، فإن
.
(قاعدة لوبيتال)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6148d980c98953dbd86c98078c4d653bedc41af)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11d7e228e328f7c206e0bdf7a26f2b8684c7d4c)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942c956bb9d9415e620bf752f4e37d9b8cbaaf4e)
نهاية بعض الدوال الخاصة[عدل]
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f1dae2cd43f2be63ac43cf61e39ab5ed028179)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db2ba69ebe50f31110495ba9c7d0c45e2754281)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e67d9f7e2588c9b3d418f1107e9ea27b8f330ed)
![{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-\cdots {\sqrt {2}}}}}}}} _{n-1}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b21d4af6e30aeeaf5e26890f10e0eb08ffff5da)
نهايات بعض الدوال الأولية[عدل]
![{\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4aaff459f69192f8dc759314582c6751a41363)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337e2c532e2cedd5b0d67bd903d39cd1cbacaf77)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}ax+b=ac+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30f7a105c48fca95512fc7752493eb7dfa6d29c)
، إذا كان r عدد صحيح موجب.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a337010a50e6173a4b1c1b5953ac7ed9ed4bab)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4bb44252f01a1b4758fac6feb852b1564ff98e)
إذا كان r عدد فردي
إذا كان r عدد زوجي
دوال من الشكل ag(x)[عدل]
، بسبب إستمرارية
.
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264d573fbe20d8772ceb811e2f45f962daebe41b)
[1]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257587de98c10b53ea0f58512ac1955779cf57d1)
دوال من الشكل xg(x)[عدل]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1a821ef69483eecca48841d2b536f92682b8d6)
دوال من الشكل f(x)g(x)[عدل]
[2]
[2]
[3]
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db2ba69ebe50f31110495ba9c7d0c45e2754281)
[1]
.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a973a5e219efe6468257eff9270f8b2aaae5d1)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9117d6dce83cb5b774801c80fb4d4234bc8bba5d)
[3][4]
اللوغاريتم الطبيعي[عدل]
, بسبب استمرارية
، على وجه الخصوص.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7a454bbcf3fafcf6ea82fdcd1b8346c5c0d1a7)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a3dc39adf241c3465eb63b5e002296b7d0c57e)
![{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e8144e6486167e696a70b49e1ef2ff4019cbec)
[3]
. تتبع هذه النهاية قاعدة لوبيتال.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7995bf2d6506c3a0c071d455440b7df259b8f46f)
[1]
لوغاريتمات ذات أساسات إختيارية[عدل]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72808181c55d9096253749e5968f71c47c87bd9b)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac08a36cc877e299461440d1c9c08d88373f041)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167a955ea9c9097586ca7d5913b50de3a7eb47f3)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72796c046b79b60db2f9202ac7c97c91a14b3f2d)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bf4a31eeee313433f14413d9e3c441d69576a9)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233fccfb3bbfdad201662ecc5dce951fd4baf7b9)
هذه النهايات تتبع كلا من استمرارية الجيب وجيب التمام.
، أو بشكل عام:
، من أجل a ≠ 0.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415364a0432ca572cee3f3ec1fa393bc925f9124)
، من أجل b ≠ 0.
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f11a7e97877900ffcb35de9f9636ada056329dc)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e68c22c5c70aa65f792c06b2cf2fb6e1ecfe16b)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580636aba444eda89b876cfc9e36e1f31d40e771)
من أجل كل عدد صحيح n.
بسبب دورية الدوال المثلثية، ليس لديها نهاية عند ±∞.
النهايات عندما تؤول (x) إلى مالانهاية[عدل]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N/x=0{\text{ for any real }}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c864526f8e3086feefced6ad5393fee9df665e3)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\text{does not exist}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfb0df72e56cbb50ee3aa8bf08c9448aac14aa9)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65f9d24a6d8cf90b0d955281e7ad9c6f78a182a)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&-1<N<1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be50d34b4918104589a9b1276f779d593e7b10)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\text{ for any }}N>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad0ef4008b7e2db5bb225374f4497648ae24155)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\text{does not exist}},&N<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61204dd0899445181689dd595b467af963c3150e)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\text{ for any }}N>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3529665ba00830f3f5a8e5160afe35d422924f5)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a3dc39adf241c3465eb63b5e002296b7d0c57e)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7a454bbcf3fafcf6ea82fdcd1b8346c5c0d1a7)
قائمة التكاملات
مراجع[عدل]