مستخدم:Doaa~arwiki/ملعبي

مقدمة

يمكننا تعميم مفهومى "الضرب القياسى" و "التعامد" على الفراغات الاتجاهية سواء الحقيقية او المركبة وهذا ما يقودنا إلى تزويد الفراغ الاتجاهى ببنية اضافية للحصول على فراغ حاصل الضرب القياسى و فراغ حاصل الضرب القياسى الكامل الذى يسمى ب "فراغ هيلبرت"

تعريف

ليكن V فراغا اتجاهيا على المجال K (الحقيقى او المركب) .لنفترض انه يقابل كل زوج من المتجهات u,v االلذان ينتموا للفراغ الاتجاهى V عدد حقيي $\langle u,v\rangle$ ينتمى للمجال K يسمى هذا الراسم حاصل الضرب القياسى في V اذ حقق البديهيات التالية:

1-::$\langle u,u\rangle \geq 0$ (موجب)

2- 0=$\langle u,u\rangle$ اذا كان وفقط اذا كان u=0 (محدد)

3-::$\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}.$ (متماثل اذا كان مجال الاساس حقيقيا)و(مرافق لنفسه اذا كان مجال الاساس مركبا)

4-::$\langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle .$ (خطى في المركبة الاولى)

ان الفراغ الاتجاهى المزود بحاصل الضرب القياسى يسمى فراغ حاصل الضرب القياسى

وكذلك فراغ حاصل الضرب القياسى الكامل وهو الذى فيه كل متتالية كوشية لها نهاية في هذا الفراغ يسمى بفراغ هيلبرت

واستنادا إلى البديهيات 3 و 4 نستنتج

$\langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle .$

وهذا يعنى ان حاصل الضرب القياسى شبه خطى في المركبة الثانية

اذا كان لدينا ⟨•,•⟩ حاصل ضرب قياسى على الفراغ الاتجاهى V , فنعرف اولا المعيار المرتبط بحاصل الضرب القياسى على انه

$\|u\|={\sqrt {\langle u,u\rangle }},$

ومن هنا فان فراغات حاصل الضرب القياسى تكون فراغات معيرة وكذلك فراغ هيلبرت يكون فراغ باناخى

ونعرف ثانيا المسافة بين نقطتين x,y في فراغ هيلبرت بمعرفة المعيار على انها

$d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}.$

ومن هنا فان فراغ حاصل الضرب القياسى يكون فراغ المسافة

ونشير إلى هذة الخاصية الاخيرة التى تتحقق نتيجة لعدم التساوى والتى تسمى متباينة كوشى- شفارتز وهى

ايا كان المتجهان x,y فان

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$

حيث ان التساوى يتحقق اذا كان و فقط اذا كان x,y مرتبطين خطيا

امثلة

1-الفراغ الاقليدى $\mathbf {R} ^{\mathbf {n} }$ هو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى

$\langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

لذلك فهو فراغ هيلبرت

2-الفراغ المركب $\mathbf {C} ^{\mathbf {n} }$ هو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى

$\langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}},=x_{1}{\overline {y_{1}}},+\cdots +x_{n}{\overline {y_{n}}},.$

لذلك فهو فراغ هيلبرت

3-الفراغ ℓ² المؤلف من المتتابعات (اللانهائية من الاعداد المركبة) حيث ان هذه المتسلسلة

$\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}$

تقاربية

فهو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى

$\langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}},$

لذلك فهو فراغ هيلبرت

خصائص

1-خصائص هندسية

يمكننا تعميم نظرية فيثاغورث على فراغات حاصل الضرب القياسى:

ليكن V فراغ حاصل الضرب القياسى. نقول عن المتجهين u,v انهما متعامدان اذا كان $\langle u,v\rangle$ = 0.ونرمز لها بالرمز u ⊥ v وعندما يصبح المتجهان متعامدان فان

$\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\mathrm {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}.$

حيث لاى عدد n من المتجهات المتعامدة نستنتج ان

$\|u_{1}+\cdots +u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2}+\cdots +\|u_{n}\|^{2}.$

يمكننا ايضا تعميم خاصية متوازى الاضلاع وهى ان مجموع مربعات اطوال الاقطار يساوى مجموع مربعات اطوال الاضلاع الاربعة حيث ان

$\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}).$

نستطيع القول بان الفراغات المعيرة تعرف حاصل الضرب القياسى حيث ان $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},$ اذا كان وفقط اذا كان خاصية متوازى الاضلاع صارت متحققة

على سبيل المثال الفراغ ℓ^p حيث p≠2 ليس فراغ حاصل ضرب قياسى لان المعيار المعرف عليه لا يحقق خاصية متوازى الاضلاع، حيث ان هذا الفراغ فراغ كامل وليس فراغ حاصل ضرب قياسى فانه ليس فراغ هيلبرت.

2-خصائص تحليلية

يقال عن متجهان في فراغات حاصل الضرب القياسى انهم متجهات عيارية متعامدة اذا كانوا متعامدان، وطول كل متجه يساوى الوحدة، ومجموعة المتجهات تشكل فئة عيارية متعامدة اذا كان كل متجهان معا متعامدان وطول كل متجه يساوى الوحدة،وهذة الفئات تشكل اساسا يسمى بالاساس العيارى المتعامد.

-كل فراغ حاصل ضرب قياسى ذو بعد منتهى له اساسات عيارية متعامدة والتى يمكن الحصول عليها من طريقة جرام-شميت التى تحول الاساس الاختيارى لفراغ حاصل الضرب القياسى إلى اساس عيارى متعامد.

تطبيقات

توجد العديد من التطبيقات لفراغ هيلبرت في مجالى الرياضيات و الفيزياء

1-يستخدم فراغ هيلبرت في ميكانيكا الكم التى تهتم بدراسة الاجسام الصغيرة جدامثل الالكترونات و البروتونات حيث تتحول المسافة وكمية الحركة و الطاقة في الميكانيكا الكلاسيكية إلى مؤثر في ميكانيكا الكم وهذا المؤثر معرف على فراغ هيلبرت[1]

2-يستخدم في المعادلات التفاضلية لدراسة سلوك القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمعادلات التفاضلية [2]

3-يستخدم فراغ هيلبرت في متسلسلات فوارير حيث يمكن تمثيل الدالة كتركيبات خطية من دوال مرتبطة بهذة المتسلسلات [3]

مراجع

• E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley , 1978[4]

• K. Saxe, Beginning Functional Analysis, Springer , 2002[5]

• Anthony N.Micel,charles j. Herget ,Applied algebra and functional analysis, Canada, 1981[6]

• John Neumann , Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , princeton university ,1955