مصفوفة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الانطلاق و الوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. و يمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله:
$\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&\cdots&{a}_{1n}\\{a}_{21}&{a}_{22}&\cdots&{a}_{2n}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\{a}_{m1}&{a}_{m2}&\cdots&{a}_{mn}\end{bmatrix}$
حيث $a i j$ يمكن أن تكون أعدادا صحيحة أو مركبة كما يمكن أن تكون دالات رياضية. ==

محتويات

1 المصفوفة كتابع
2 العمليات على المصفوفات
3 مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول
4 حساب المحدد
5 حساب القيمة المطلقة لمصفوفة

[عدل] المصفوفة كتابع

إن مصفوفة من الشكل $\,m \times n\,\,(m, n \in \mathbb{N})$ ، هي عبارة عن تابع: $\mathbf{A}\colon \{1, 2, \ldots, m\} \times \{1, 2, \ldots, n\} \to \mathbf{S},\,\,$

إن $(\{1, 2, \ldots, m\} \times \{1, 2, \ldots, n\}\,$ هو الجداء الديكارتي لكل من $\{1, 2, \ldots, m\}\,$ و $\{1, 2, \ldots, n\}.)\,$ .

[عدل] العمليات على المصفوفات

[عدل] الجمع

مقال تفصيلي :جمع المصفوفات

لكى يتسنى جمع مصفوفتين فلابد ان يكونا من نفس الحيز. و يعرف حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة من جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين. فعلى سبيل المثال إذا كان

ِ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&2\end{bmatrix}$ , $B=\begin{bmatrix}0&-1&2\\7&2&3\end{bmatrix}$ فإن $C=A+B=\begin{bmatrix}1&1&5\\7&1&5\end{bmatrix}$

و بصفة عامة إذا كان

$A m x n = a i j, B m x n = b i j$

فإن $A + B$ هي مصفوفة جديدة $C m x n = c i j$ حيث

$c i j = a i j + b i j$

[عدل] الضرب

[عدل] ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر

نضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة، مصفوفة جديدة، تحوي العدد نفسه من العناصر. $\begin{bmatrix}5&3&2\\1&7&6 \end{bmatrix}* 2 = \begin{bmatrix}10&6&4\\2&14&12 \end{bmatrix}$

[عدل] ضرب مصفوفة في مصفوفة

يجب في البداية أن نعلم أن ضرب المصفوفات غير تبديلي.
من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهو مصفوفة)، يجب أن يتحقق الشرط التالي:

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الأسطر في مصفوفة الثانية

بفرض A مصفوفة من الشكل a x b، وB مصفوفة من الشكل c x d، فمن أجل إيجاد $A * B$ ، يجب أن يكون b=c.

سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان، حيث:

$A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}b_1\\b_2 \\b_3 \end{bmatrix}$

فيكون: $A * B = \begin{bmatrix}(a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + (a_3)(b_3)\end{bmatrix}$

ونلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر، وبالتالي، فإن ضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.

أما عند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، فعندئذ، نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)، ثم نقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، وهكذا.

[عدل] أمثلة على الضرب

مثال توضيحي بالرموز:

بفرض: $A=\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}{b}_{11}&{b}_{12}\\{b}_{21}&{b}_{22}\\ {b}_{31}&{b}_{32}\end{bmatrix}$

فيكون:

$A * B = \begin{bmatrix} ( {a}_{11} \times {b}_{11} + {a}_{12} \times {b}_{21} + {a}_{13} \times {b}_{31}) & ( {a}_{11} \times {b}_{12} + {a}_{12} \times {b}_{22} + {a}_{13} \times {b}_{32}) \\ ({a}_{21} \times {b}_{11} + {a}_{22} \times {b}_{21} + {a}_{23} \times {b}_{31}) & ({a}_{21} \times {b}_{12} + {a}_{22} \times {b}_{22} + {a}_{23} \times {b}_{32}) \end{bmatrix}$

مثال بالأرقام:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & ( 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}.$

[عدل] مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول

لنعتبر مثلا الشعاع التالي:
$V = \begin{bmatrix}{s}_{1}\\{s}_{2}\\{s}_{3}\\{s}_{4}\end{bmatrix} \in {R}^{4}$
و المصفوفة التالية: $A = \begin{bmatrix} {a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}&{a}_{14}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}&{a}_{24}\end{bmatrix}$

عملية تحويل الشعاع تتم على نحو النحو التالي:
$X = A*V = \begin{bmatrix} {a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}&{a}_{14}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}&{a}_{24}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{s}_{1}\\{s}_{2}\\{s}_{3}\\{s}_{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{a}_{11}{s}_{1}+{a}_{12}{s}_{2}+{a}_{13}{s}_{3}+{a}_{14}{a}_{14}\\{a}_{21}{s}_{1}+{a}_{22}{s}_{2}+{a}_{23}{s}_{3}+{a}_{24}{s}_{4}\end{bmatrix}$

وهكذا نكون قد حولنا شعاعا V ينتمي إلى $R 4$ إلى شعاع X ينتمي إلى ال $R 2$ . أما عامة إذا كانت المصفوفة تحتوي على عدد m من الأسطر و n من الأعمدة فإنها تحول مجموعة الانطلاق المكونة من أشعة تنتمي إلى ال $K n$ إلى مجموعة الوصول المتكونة من أشعة تنتمي إلى ال $K m$ .
كما يمكن اعتبار المصفوفات نوعا خاصا من التنسورات ألا وهي التنسورات من الدرجة الثانية

[عدل] حساب المحدد

حساب قيمة محدد الدرجة الثالثة: هناك طريقتان لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة

الطريقة الأولى: 1. نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث . 2. نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.

توضيح

a11 a12 a13 a11 a12

              a 21 a22  a23  a21  a22

                  a31  a32  a33  a31  a32

الطريقة الثانية:

ملحوظة: الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.

الفك عن طريق المتعاملات: إذا كانت مصفوفة من الدرجة نفرض أن هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعرف متعامل العنصر بأنه

ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أو عمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان 1. ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i

2. 3. ويسمى مفكوك الصف حول العمود

بالنسبة للمصفوفات التي تكون من الدرجة الرابعة أو أكثر يستحسن تحويلها إلى مصفوفة مثلثية لتبسيط حساب المحدد و بالتالي يصبح يساوي جداء عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية الجديدة

[عدل] حساب القيمة المطلقة لمصفوفة

يتم حساب القيمة المطلقة للمحدده اعتمادا على قيمه المحددة

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

مصفوفة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

محتويات

[عدل] المصفوفة كتابع

[عدل] العمليات على المصفوفات

[عدل] الجمع

[عدل] الضرب

[عدل] ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر

[عدل] ضرب مصفوفة في مصفوفة

[عدل] أمثلة على الضرب

[عدل] مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول

[عدل] حساب المحدد

[عدل] حساب القيمة المطلقة لمصفوفة

معاينة

أدوات شخصية

الموسوعة

بحث

إبحار

المشاركة والمساعدة

صندوق الأدوات

بلغات أخرى