عملية كظومة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الديناميكا الحرارية، العملية الكظمية أو الأديباتيكية[1](بالإنجليزية: Adiabatic) هو الإجراء الديناميكي الحراري التي لا يوجد فيها تبادل حراري بين المنظومة والوسط المحيط. أي أنه معزول حراريا.

 VT^\alpha = \operatorname{constant}

حيث T درجة الحرارة المطلقة.

يمكن كتابة هذه المعادلة أيضا بالصورة:

 TV^{\gamma - 1} = \operatorname{constant}

اشتقاق الصيغة المتصلة[عدل]

يقتضي تعريف العملية الأديباتية بأن الانتقال الحراري للنظام هو صفر، Q=0 . وفقا لـالقانون الأول للديناميكا الحرارية :

 \text{(1)} \qquad d U + \delta W = \delta Q = 0,

حيث أن dU هي التغير في الطاقة الداخلية للنظام وδW هو الشغل المبذول بواسطة النظام. يتم الشغل المبذول (δW) على حساب الطاقة الداخلية U، نظرا لعدم دخول حرارة إلى النظام من الوسط المحيط . يعرف "شغل الضغط-الحجم" δW للنظام بأنه :

 \text{(2)} \qquad \delta W = P \, dV.

لكن, P لاتبقى ثابتة أثناء العملية الكظومة وإنما تتغير مع تغير V.

لذلك يكون من الأفضل معرفة كيفية ارتباط dP وdV أثناء انجاز العملية الأديباتية.

تعطى الطاقة الداخلية لغاز مثالي بالعلاقة:

 \text{(3)} \qquad U = \alpha n R T,

حيث R هو ثابت الغاز العام وn عدد المولات في النظام (ثابت).

بمفاضلة المعادلة (3) وباستعمال قانون الغاز المثالي, P V = n R T, ينتج

 \text{(4)} \qquad d U = \alpha n R \, dT
                  = \alpha \, d (P V)
                  = \alpha (P \, dV + V \, dP).

المعادلة (4) يعبر عنها غالبا  d U = n C_{V} \, d T لأن  C_{V} = \alpha R .

والان بتعويض المعادلات (2) و(4) في المعادلة (1) نحصل على

 -P \, dV = \alpha P \, dV + \alpha V \, dP,

بالتبسيط:

 - (\alpha + 1) P \, dV = \alpha V \, dP,

وبقسمة كلا الطرفين على PV:

 -(\alpha + 1) {d V \over V} = \alpha {d P \over P}.

بعد مكاملة كلا الطرفين من V_0 إلى V ومن P_0 إلى P وبتغيير الأطراف على الترتيب,

 \ln \left({P \over P_0} \right) 
= {-{\alpha + 1 \over \alpha}} \ln \left({V \over V_0} \right).

برفع كلا الطرفين للأس,

 \left({P \over P_0} \right) 
=
\left({V \over V_0} \right)^{-{\alpha + 1 \over \alpha}},

وبعزل الإشارة السالبة لبيان أن

 \left({P \over P_0} \right)
=
\left({V_0 \over V} \right)^{\alpha + 1 \over \alpha}.

لذا,

 \left({P \over P_0} \right) \left({V \over V_0} \right)^{\alpha+1 \over \alpha} = 1

و

 P V^{\alpha+1 \over \alpha} = P_0 V_0^{\alpha+1 \over \alpha} = P V^\gamma = \operatorname{constant}.

اشتقاق الصيغة المتقطعة[عدل]

يكون التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسا من الحالة 1 إلى الحالة 2 مساويا لـ:

 \text{(1)} \qquad \Delta U = \alpha R n_2T_2 - \alpha R n_1T_1 = \alpha R (n_2T_2 - n_1T_1)

في الوقت يكون الشغل المبذول بواسطة التغير في الضغط الحجمي نتيجة لهذه العملية مساويا لـ:

 \text{(2)} \qquad W = \int_{V_1}^{V_2}P\, dV

بما أننا بصدد عملية كظومة، ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة

 \text{(3)} \qquad \Delta U + W = 0

من الاشتقاق السابق,

 \text{(4)} \qquad P V^\gamma = \text{constant} = P_1 V_1^\gamma

بإعادة الترتيب (4) نحصل على

 P = P_1 \left(\frac{V_1}{V} \right)^\gamma

بالتعويض في (2)

 W = \int_{V_1}^{V_2}P_1 \left(\frac{V_1}{V} \right)^\gamma\, dV

بالتكامل,

 W = P_1 V_1^\gamma \frac{V_2^{1-\gamma}-V_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}

بالتعويض \gamma = \frac{\alpha+1}{\alpha} ,

 W = - \alpha P_1 V_1^{\gamma} \left(V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma} \right)

باعتبار,

 W = - \alpha P_1 V_1 \left(\left(\frac{V_2}{V_1} \right)^{1-\gamma} - 1 \right)

باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما هو الحال عادة في الحالات العملية)،

 W = - \alpha n R T_1 \left(\left(\frac{V_2}{V_1} \right)^{1-\gamma} - 1 \right)

من الصيغة المتصلة,

 \frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{-\gamma}

أو,

 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{-1 \over \gamma}=\frac{V_2}{V_1}

وبالتعويض في التعبير السابق  W ,

 W = - \alpha n R T_1 \left(\left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1 \right)

بتعويض هذا التعبير و(1) في (3) نحصل على

 \alpha n R (T_2 - T_1) = \alpha n R T_1 \left(\left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1 \right)

بالتبسيط,

 T_2 - T_1 =  T_1 \left(\left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1 \right)

بالتبسيط,

 \frac{T_2}{T_1}-1 =  \left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1

بالتبسيط,

 T_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}

انظر أيضُا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ منهج الفيزياء للصف الثالث الثانوي - الفصل الدراسي الأول -ط 2008- التعليم السعودي