المحتوى هنا ينقصه الإستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها

مبرهنة الباقي الصيني

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
بحاجة لمصدر
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.(أغسطس 2015)
مبرهنة الباقي الصيني بُرهن عليها من طرف غاوس في عمل المنشور عام 1801 استفسارات حسابية.[1]

مبرهنة الباقي الصيني (بالإنكليزية: Chinese remainder theorem) هي نتيجة للحسابيات التوافقية في نظرية الأعداد تعالج حل أنظمة تقارب. هذه النتيجة خاصة أساسا في Z/nZ تعمم في نظرية الحلقات. نُشرت لأول بين القرنين الثالث والخامس للميلاد من طرف عالم الرياضيات الصيني سون تزو.

في شكلها المبسط، تحدد المبرهنة عددا n، عند قسمته على عدة قواسم معلومة، يعطي بواقٍ معلومة. على سبيل المثال، ما هو أصغر عدد طبيعي الذي إذا قُسم على 3 يعطي باقيا مساويا ل 2 وإذا قُسم على 5 يعطي باقيا مساويا ل 3 وإذا قُسم على 7 يعطي باقيا مساويا ل 2 ؟

نظام تقارب الأعداد[عدل]

مبرهنة[عدل]

ليكن n_1,..., n_k أعداد طبيعية مثنى مثنى أولية فيما بينها (أي pgcd (ni، nj) = 1 عند ij). إذن كل الأعداد الصحيحة a_1,..., a_k, يوجد عدد صحيح x, وحيد المقاربة بترديد n=\prod_{i=1}^k n_i وبحيث


\begin{matrix}
x \equiv a_1\pmod{n_1}\\ 
\ldots \\ 
x \equiv a_k\pmod{n_k}\\
\end{matrix}

الحل x يمكن إيجاده كما يلي:

لكل i, الأعداد n_i\, و\hat n_i = \frac{n}{n_i} أولية فيما بينها, وباستعمال 'متساوية بيزوت, يمكن إيجاد الأعداد u_i\, وv_i\, بحيث u_in_i + v_i\hat n_i= 1. إذا افترضنا e_i =  v_i\hat n_i, فنحصل على

e_i \equiv 1 \pmod{n_i} \,

و

e_i \equiv 0 \pmod{n_j}\, ل ji.

الوجود والوحدانية[عدل]

يمكن إثبات الوحدانية والوجود من خلال التالي: هناك N = n1·…·nk من k بواقٍ مختلفة. لنسم هذه المجموعة R. من ناحية أخرى، N = #{1, ..., N}, وكل عنصر من {1, ..., N} يقابل عنصر من R.

هل من الممكن أن يقابل عنصران من a, b ∈ {1, ..., N}, نفس العنصر من R؟ أي هل من الممكن أن يكون لهما نفس مجموعة العناصر عند القسمة على n1, ..., nk؟ إذا كان هذا صحيحاً فإن كلاً من ab سيكون قابلاً للقسمة على كلٍ من ni. وبما أن ni أوليان مثنى مثنى، فإن ab سيكون قابلاً على القسمة على حاصل ضربهم N.

وبما أن هذا مستحيل الحدوث فإن الدالة {1, ..., N} → R ستكون دالة تقابل، حيث أن #{1, ..., N} = #R، وبالتالي نحصل على علاقة التقابل. يمكن رؤية الوجود من خلال البناء لعناصر x. لتكن [a−1]b ترمز للمعاكسات الضربية ل a (mod b) والتي يمكن الحصول عليها من خلال القسمة الإقليدية الممددة، والتي تكون معرفة إذا a و b أوليان فيما بينهما. البناء التالي للعناصر يبين لم نحتاج هذه الخاصية.

حالة المعادلتين (k = 2)[عدل]

ليكن النظام التالي المكون من معادلتين:

\begin{cases} x \equiv a_1 & \pmod{n_1} \\ x \equiv a_2 & \pmod{n_2} \end{cases}

انظر إلى متطابقة بوزو.

n_2 \left [n_2^{-1} \right ]_{n_1} + n_1 \left [n_1^{-1} \right ]_{n_2} = 1

الحالة العامة[عدل]

تطبيقات[عدل]

ترقيم المتتاليات[عدل]

تحويل فيورييه السريع[عدل]

التعمية[عدل]

استيفاء هيرميت[عدل]

انظر إلى معضلة استيفاء هيرميت.

مبرهنة ديدكايند[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

  1. ^ Gauss & Clarke (1986, Art. 32-36)