هذه المقالة أو بعض مقاطعها بحاجة لزيادة وتحسين المصادر.

مبرهنة الباقي الصيني

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
تحتاج هذه المقالة أو المقطع إلى مصادر ومراجع إضافية لتحسين وثوقيتها. قد ترد فيها أفكار ومعلومات من مصادر معتمدة دون ذكرها. رجاء، ساعد في تطوير هذه المقالة بإدراج المصادر المناسبة. (ديسمبر 2017)
مبرهنة الباقي الصيني بُرهن عليها من طرف غاوس في عمل المنشور عام 1801 استفسارات حسابية.[1]

مبرهنة الباقي الصيني (بالإنجليزية: Chinese remainder theorem) هي نتيجة للحسابيات التوافقية في نظرية الأعداد تعالج حل أنظمة تقارب.[2][3] هذه النتيجة خاصة أساسا في Z/nZ تعمم في نظرية الحلقات. نُشرت لأول بين القرنين الثالث والخامس للميلاد من طرف عالم الرياضيات الصيني سون تزو.

في شكلها المبسط، تحدد المبرهنة عددا n، عند قسمته على عدة قواسم معلومة، يعطي بواقٍ معلومة. على سبيل المثال، ما هو أصغر عدد طبيعي الذي إذا قُسم على 3 يعطي باقيا مساويا ل 2 وإذا قُسم على 5 يعطي باقيا مساويا ل 3 وإذا قُسم على 7 يعطي باقيا مساويا ل 2 ؟

نظام تقارب الأعداد[عدل]

مبرهنة[عدل]

ليكن ,..., أعداد طبيعية مثنى مثنى أولية فيما بينها (أي pgcd (ni، nj) = 1 عند ij). إذن كل الأعداد الصحيحة ,..., , يوجد عدد صحيح , وحيد المقاربة بترديد وبحيث

الحل x يمكن إيجاده كما يلي:

لكل i, الأعداد و أولية فيما بينها, وباستعمال 'متساوية بيزوت, يمكن إيجاد الأعداد و بحيث. إذا افترضنا , فنحصل على

و

ل ji.

الوجود والوحدانية[عدل]

يمكن إثبات الوحدانية والوجود من خلال التالي: هناك N = n1·…·nk من k بواقٍ مختلفة. لنسم هذه المجموعة R. من ناحية أخرى، N = #{1, ..., N}, وكل عنصر من {1, ..., N} يقابل عنصر من R.

هل من الممكن أن يقابل عنصران من a, b ∈ {1, ..., N}, نفس العنصر من R؟ أي هل من الممكن أن يكون لهما نفس مجموعة العناصر عند القسمة على n1, ..., nk؟ إذا كان هذا صحيحاً فإن كلاً من ab سيكون قابلاً للقسمة على كلٍ من ni. وبما أن ni أوليان مثنى مثنى، فإن ab سيكون قابلاً على القسمة على حاصل ضربهم N.

وبما أن هذا مستحيل الحدوث فإن الدالة {1, ..., N} → R ستكون دالة تقابل، حيث أن #{1, ..., N} = #R، وبالتالي نحصل على علاقة التقابل. يمكن رؤية الوجود من خلال البناء لعناصر x. لتكن [a−1]b ترمز للمعاكسات الضربية ل a (mod b) والتي يمكن الحصول عليها من خلال القسمة الإقليدية الممددة، والتي تكون معرفة إذا a و b أوليان فيما بينهما. البناء التالي للعناصر يبين لم نحتاج هذه الخاصية.

حالة المعادلتين (k = 2)[عدل]

ليكن النظام التالي المكون من معادلتين:

انظر إلى متطابقة بوزو.

الحالة العامة[عدل]

تطبيقات[عدل]

ترقيم المتتاليات[عدل]

تحويل فيورييه السريع[عدل]

التعمية[عدل]

استيفاء هيرميت[عدل]

انظر إلى معضلة استيفاء هيرميت.

مبرهنة ديدكايند[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Gauss & Clarke (1986, Art. 32-36)
  2. ^ Le théorème des restes chinois, Textes, commentaires et activités pour l’arithmétique au lycée, sur le site CultureMath de l'ENS, § 1. Le problème des restes chinois : Questions sur ses origines. نسخة محفوظة 24 نوفمبر 2016 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Joseph B. Dence, Thomas P. Dence. "Elements of the Theory of Numbers". تمت أرشفته من الأصل في 15 يناير 2018. اطلع عليه بتاريخ 28 أغسطس 2016. 

وصلات خارجية[عدل]