مستخدم:Shimaa~arwiki/ملعبي

مقدمة

نجد في الرياضيات فكرة وهي إن طول القطعة المستقيمة في المستوى $\mathbf {R} ^{\mathbf {2} }$ و نقطتي النهاية لهذه القطعة مستقيمة هما (0,0) و أى زوج مرتب $\ x$=($\beta$ , $\alpha$) ففكرة إيجاد طول المتجه $\ x$ فكرة بديهية ويمكن تعميمها لأى فراغ اتجاهى حقيقى $\mathbf {R} ^{\mathbf {n} }$ و هذه هي الخصائص لطول المتجه $\ x$ و يرمز له بالرمز $\|x\|$ :

هذا وصف لطول المتجه x في المستوى

1- أى متجه طوله موجب

2- المتجه الصفرى طوله صفر و أيضا إذا كان طول المتجه صفر فيكون هو المتجه الصفرى

3- ضرب متجه في قيمة قياسية يغير طوله بنفس مقدار القيمة المطلقة دون تغير اتجاه المتجه

حيث أن هذه القيمة القياسية إذا كانت تقع في الفترة $\ {(-1,1)}$ فإن طول المتجه $\ x$ ينكمش و إذا كانت تاخذ أى قيمة تقع في الفترة $\mathbf {R} -(-1,1)$ فإن طول المتجه $\ x$ يتمدد

4- متباينة المثلث متحققه حيث أن طول أى ضلع في المثلث لا يزيد عن مجموع طولى الضلعين الآخرين

هذا توضيح لمتباينة المثلث في المستوى

و بتجريد هذه الخصائص لأى فراغ اتجاهى نحصل على مفهوم المعيار ألا وهو كمية مجرده ، فمن الممكن أن تصف طول أو حجم أو مدى أى فراغ و بالتالى يكون المعيار مفهوم المسافة في الفراغ الخطى و هذا يتيح لنا معرفة تقارب متسلسلة لانهائية في هذا الفراغ ، و هذا نهتم به في حل عدد لانهائى من المعادلات الخطية و من هنا كانت بداية التحليل الدالى عندما تعثر الجبر الخطى في حل تلك المعادلات اللانهائية و على سبيل المثال عند تحويل معادلة تكاملية إلى نظام من المعادلات الخطية اللانهائية فهنا يظهر لنا متسلسلات لانهائية و بالتالى نريد معرفه تقاربها ، حيث نشأت نظرية بواسطة إسهامات فوليترا (1940-1860)Volterra و فريدهولم (1927-1866 )Fredholm و هيلبرت (1943-1862)Hilbert في المعادلات التكاملية.

نبذة تاريخية

أول من تكلم على مفهوم المعيار هو عالم الرياضيات النمساوى هيلى ( E.Helly( 1884 - 1943 ولكنه لم يستخدم اسم المعيار و لا رمز المعيار $\|.\|$ ، كان يعرفها كأى دالة ، و تحقق شروط المعيار ، و قد كتب مقالة في عام 1912 تكلم فيها عن حالة خاصة من نظرية هان - بناخ حيث انه قام بتفسير نتائج لم يفسرها ريس (F. Riesz ( 1880 – 1956 من قبل و أيضا قام هيلى بعمل اثبات مختلف عن ريس لمد الداليات الخطية ولم يقم بنشر اى مقالات لمدة 9 سنوات بسبب الحرب العالمية الاولى و كان حينئذ سجين الحرب في روسيا ، وقام بعمل مقالة في عام 1921 ، و هذه المقالة تعتبر علامة بارزة في تاريخ التحليل الدالى حيث أنه بدل النظر إلى فراغ معين مثل $C[a,b]$ وL^p و $\ell ^{p}$ فهو أول من تعامل بصفة عامة مع "الفراغات المعيارية للمتتابعات" باستخدام الاساليب التى لا تعتمد على صفات خاصة للفراغ أى أن بواسطة هيلى في عام 1921 قام بتعميم نظرية نظام من المعادلات الخطية من الفراغ $\ell ^{p}$ إلى أى فراغ جزئى معيارى من $\mathbf {c} ^{\mathbf {N} }$ و هو فراغ كل المتتابعات من الأعداد المركبه وقد قام هيلى بتعريف مفهوم التحدب على الفراغات المعيرة وكان منيكوفسكى ( 1909-1864)Minkowski في عام 1911 ذكر مفهوم التحدب في هندسة الأعداد.

في عام 1920 عرف ما يسمى فراغ بناخ و طرحت فكرة فراغ بناخ من قبل بعض العلماء ، و على سبيل المثال وينر (1964 -1894)Norbert Wiener قدم المفاهيم ، ولكنه لم يؤسس النظريات و الذى صاغ اسم فراغ بناخ هو فريشيه و اهمية اسهام بناخ انه طور منهجية نظرية التحليل الدالى حيث انه كان يوجد نتائج معزولة تطورت فيما بعد لتتلاءم مع النظرية الجديدة .واتخذت خطوة أخرى في التجريد من قبل بناخ في عام 1932 عندما انتقل من فراغ الضرب القياسى إلى فراغ المعيار ، و أخذ بناخ الداليات الخطية لفريشيه ، و أوضح أن لديهم وضعا طبيعيا في فراغات المعيار ، وأثبت بناخ عددا من النتائج الأساسية في الفراغات الخطية المعيـرة ، و عديد من النظريات الهامة تسمى باسمه من بعده . و هناك نظرية هان - بناخ بشأن تمديد الداليات الخطية المتصلة و نظرية بناخ - شتاينهاوس و نظرية بناخ للنقطة الثابتة.

التعريف

المعيار(النظيم) : المعيار على فراغ اتجاهى x هى دالة,$\mathbf {R}$$\rightarrow$ $\ X$: $\|.\|$ , التى تحقق هذه الخواص :

لكل $\ x$ , $\ y$ تنتمى للفراغ الاتجاهى $\ X$ و لكل $\alpha$ تنتمى للحقل$\mathbf {k}$ ($\mathbf {R}$ or $\mathbf {C}$)

1- $\|x\|>0$ اذا كان $x\neq 0$ (المعيار موجب )

2- $\|x\|=0$ اذا كان وفقط اذا كان $\ {x=0}$ (المعيار محدد)

3- $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|$ (المعيار متجانس إيجابيا)

4- $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (المعيار يحقق متباينة المثلث)

-الفراغ المعيارى هو الزوج ($\|.\|$,$\ X$) عندما يكون $\ X$ فراغ اتجاهى معرف عليه معيار

-الفراغ الشبه معيارى هو الزوج ($\ p$,$\ X$) عندما تكون $\ X$ فراغ اتجاهى و $\ p$ شبة معيار على X

شبه معيارى هو الذى يحقق الشروط ( 1 )و( 3 )و( 4 )

-اى فراغ معيارى ($\|.\|$,$\ X$) يكون فراغ المسافة و هذا يتحقق من خواص المعيار مباشرة ودالة المسافة $\ d$ و هى المسافة بين متجهين$\ x$ , $\ y$ تنتمى $\ X$ و معرف بهذه الصورة :

$d(x,y)=\|x-y\|$

ولكن ليس كل فراغ المسافة فراغ معيارى و يوجد نظرية مساعدة تبين ان دالة المسافة $\ d$ على الفراغ الاتجاهى $\ X$ الناتج بواسطة المعيار و لابد ان تحقق هذين الشرطين و هما :

أ) $d(x,y)=d(x+a,y+a)$ (إزاحة ثابته)

ب) $d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$ ( التجانس )

وهذا يعنى أنه إذا لم يتحقق واحد من الشرطين يترتب على هذا أنه لا يمكننا تعريف معيار على هذا الفراغ الاتجاهى $\ X$

و باستخدام دالة المسافة يمكننا تعريف اتصال دالة المعيار

-دالة المعيار $\|.\|$ دالة متصلة و هذا ينتج من المتباينة التالية:

$\|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||$ لكل $\ x$ , $\ y$ تنتمى للفراغ الاتجاهى $\ X$

- ليكن الزوج ($\|.\|$,$\ X$) فراغ معيارى

التقارب - المتتابعة $\ {(x_{n})}_{n}$ في $\ X$ تكون تقاربية ل $\ x$ في $\ X$ اذا كان لكل $\epsilon >0$ يوجد $\mathbf {N}$ $\in$ $n_{0}$ لكل $\mathbf {N}$ $\in$$n$ بحيث لكل $n_{0}$ < $n$ $\Leftarrow$ $\|x_{n}-x\|$ $\epsilon >$

الكوشية - المتتابعة $\ {(x_{n})}_{n}$ في $\ X$ تكون كوشية اذا كان لكل $\epsilon >0$ يوجد$\mathbf {N}$ $\in$ $n_{0}$ لكل $\mathbf {N}$ $\in$$n$,$m$ بحيث لكل $n_{0}$ < $n$ ,$m$ $\Leftarrow$ $\|x_{n}-x_{m}\|$ $\epsilon >$

-فراغ بناخ هو فراغ معيارى كامل و هذا يعنى ان كل متتابعة كوشية لها نهاية في هذا الفراغ.

امثلة

• الفراغ الإقليدي $\mathbf {R} ^{\mathbf {n} }$ هو فراغ كامل ومعرف عليه معيار كالتالى :

$\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$ عندما ${\boldsymbol {x}}$ = (x₁, x₂, ..., x_n)

و بالتالى هذا الفراغ فراغ بناخى

• الفراغ المركب $\mathbf {C} ^{\mathbf {n} }$ هو فراغ كامل ومعرف عليه معيار كالتالى :

$\|{\boldsymbol {z}}\|={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}$

و بالتالى هذا الفراغ فراغ بناخى

• معيار تشيبيشيف و يسمى ايضا بمعيار ${L}^{\infty }$وهو معيار L^p عندما $\scriptstyle p\,\to \,\infty$ و هو فراغ كامل و معرف علية معيار كالتالى :

$\lim _{p\rightarrow \infty }\|x\|_{p}=\lim _{p\rightarrow \infty }\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}$

و بالتالى هذا الفراغ فراغ بناخى

• فراغ ℓ^p هو فراغ المتتابعات اللانهائية من الاعداد حيث ان هذه المتسلسلة $\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}$ تكون تقاربية و هو فراغ كامل و معرف علية معيار كالتالى :

p $\geqslant$ 1,$\|x\|=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$

و بالتالى هذا الفراغ فراغ بناخى

• $\ {C}_{p}[a,b]$ فهو فراغ الدوال المتصلة على الفترة $\ [a,b]$ فهو فراغ غير كامل و لكن معرف عليه معيار :

p $\geqslant$ 1 , $\|x\|=\left(\int _{a}^{b}|x(t)|^{p}\;dt\right)^{1/p}$

و بالتالى فهو ليس فراغ بناخى و اكتماله هو (L^p(a,b و هو فراغ ليبيج للدوال القابلة للتكامل و هو فراغ بناخى

• $\ p$ شبه معيارى معرف كالتالى : $\ {p(x)=0}$ لكل $\ x$ $\ni$ $\ X$

ويوجد ايضا امثلة توضح وجود فراغات المسافة و لكن ليست فراغات معيارية:

• $\ s$ فراغ كل المتتابعات و هذا الفراغ معرف عليه مسافة كالتالى:

$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {|x_{n}-y_{n}|}{1+|x_{n}-y_{n}|}}$

و لكن هذه المسافة لا يمكننا تعريف معيار عليه و هذا يتضح باستخدام النظرية المساعدة حيث ان الشرط (ب) لم يتحقق و بالتالى هذا الفراغ لم يكن فراغ بناخى

• المسافة المنفصلة ٍ$\rho$ معرف على $\ X$ كالتالى:

$\rho (x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ x\neq y\\0&{\mbox{if}}\ x=y\end{matrix}}\right.$ لكل $\ y$ ,$\ x$ $\ni$ $\ X$

و هذه المسافة المنفصل لا يمكننا تعريف معيار عليه هذا يتضح باستخدام النظرية المساعدة حيث ان الشرط (ب) لم يتحقق و بالتالى هذا الفراغ لم يكن فراغ بناخى

التطبيقات

• يستخدم الفراغ المعيارى و فراغ بناخ في الاقتصاد و في التطبيقات المالية[1][2]

• ويطبق ايضا في علم الوراثة [3]

• و يطبق في الفيزياء[4] [5]

• و يطبق في الهندسة الكيميائية[6] و يطبق ايضا في كيمياء الكم [7] صفحة 139

• و يطبق في الاحصاء [8]

• و يستخدم في نظرية التحكم الأمثل[9][10]

انظر أيضا

• فراغات حاصل الضرب القياسى و فراغات هيلبرت

• التحليل الدالى

• نظريات هامة في التحليل الدالى

• ستيفان بناخ

المراجع

• J. Dieudonné, History of Functional Analysis, North-Holland, 1981[11]

• E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley , 1978[12]

• Y. Eidelman, V. Milman and A. Tsolomitis, Functional Analysis: An Introduction, AMS , 2004[13]
• K. Saxe, Beginning Functional Analysis, Springer , 2002[14]

• Mario J. Mirand , Paul L. Fackler , Applied Computational Economics And Finance , the MIT press , 2002

• Pier Carlo Nicola , Mainstream Mathematical Economics in the 20th Century, Springer , 2000

• Yvonne Choquet-Bruhat, Cécile DeWitt-Morette, Margaret Dillard Bleick, Analysis, manifolds, and physics, North Holland , 1977

• Sadri Hassani, Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations, springer , 1999

• Peter Wolenski , Martin A. Hjortso, Linear Mathematical Models In Chemical Engineering ,world scientific , 2010

• 2011 , .Advances in Quantum Chemistry,Elsevier Inc, John R. Sabin ,Erkki J. Brändas

• 2010 , Alexander J. Zaslavski ,Optimization on Metric and Normed spaces, springer

• 1980 , .James R. Leigh , Functional Analysis and Linear Control Theory , ACADEMIC PRESS INC