مبرهنة فارينيون (ميكانيكا)

إن نظرية فارينون (Varignon Theorem) هي نظرية وضعها عالم الرياضيات الفرنسي Pierre Varignon بيير فارينون (1654م-1722م) نشرت عام 1687م في كتابه Projet d' unè nouvelle mèchanique. وتنص النظرية على أن عزم القوة عند أي نقطة يكون مساويًا لمجموع العزم لمركباتها عند النقطة نفسها.

الإثبات

فكر في مجموعة $N$ من متجهات القوة $\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{N}$ التي تتفق في نقطة ما$\mathbf {O}$ في الفضاء. تكون محصلتها :

$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}$.

عزم الدوران لكل متجه فيما يتعلق بنقطة أخرى $\mathbf {O} _{1}$ هو :

$\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {f} _{i}$.

إضافة عزم الدوران وسحب العامل المشترك $(\mathbf {O} -\mathbf {O_{1}} )$ يرى المرء أن النتيجة يمكن التعبير عنها فقط من حيث $\mathbf {F}$, وهو في الواقع عزم الدوران $\mathbf {F}$ فيما يتعلق بهذه النقطة $\mathbf {O} _{1}$:

$\sum _{i=1}^{N}\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \left(\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}\right)=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {F} =\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {F} }$.

إثبات النظرية، أي مجموع عزم الدوران $\mathbf {O} _{1}$ هو نفس عزم الدوران لمجموع القوى حول نفس النقطة.

وصلات خارجية

• Varirgnon's Theorem at TheFreeDictionary.com
• Proof. Mechanics of Solids. S.S. Bhavikatti. (page 19)