انتقل إلى المحتوى

نظرية التمثيل: الفرق بين النسختين

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
التعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
أنشأ الصفحة ب'{{Otheruses4|the theory of representations of algebraic structures by linear transformations and matrices|the more general notion of representations throughout mathemati...'
(لا فرق)

نسخة 11:36، 5 مايو 2013

  هذه المقالة عن the theory of representations of algebraic structures by linear transformations and matrices. لthe more general notion of representations throughout mathematics، طالع representation (mathematics).

نظرية التمثيل (Representation theory) هي فرع من فروع الرياضيات (mathematics) التي تدرس البنية الجبرية (algebraic structure) المجردة عن طريق تمثيل العناصر الخاصة بهم كـتحول خطي (linear transformation) لـمتجه المسافة (vector space)، وتدرس الوحدات النمطية على هذه البنيات الجبرية المجردة.[1] في الأساس، يعمل التمثيل على جعل الهدف الجبري المجرد أكثر واقعية من خلال وصف عناصره عن طريق المصفوفات (matrices) والعمليات الجبرية (algebraic operation) من حيث إضافة المصفوفة (matrix addition) وضرب مصفوفة في مصفوفة (matrix multiplication). تشمل الأهداف الجبرية المسؤولة عن مثل هذ الوصف المجموعات, الجبر التجميعي (associative algebra) وجبر لي (Lie algebra). أبرز هؤلاء (والأولى تاريخيًا) هي نظرية تمثيل المجموعات (representation theory of groups)، التي تتمثل فيها عناصر المجموعة عن طريق المصفوفة غير المفردة بطريقةٍ تُضرَب فيها المصفوفة في المصفوفة في عملية المجموعة.[2]

نظرية التمثيل هي أداة قوية لأنها تقلل مشاكل الجبر المجرد إلى مشاكل في الجبر الخطي، وهي مادة مفهومة جيدًا.[3] علاوةً على ذلك، فإنه يمكن لمتجه المسافة التي تتمثل فيه مجموعة (على سبيل المثال) أن يكون لا نهائي الأبعاد، وبالسماح بحدوث ذلك، يمكن تطبيق فضاء هيلبرت (Hilbert space)، وهي أساليب التحليل على نظرية المجموعات.[4] تعد نظرية التمثل أيضًا هامة في الفيزياء لأنها، على سبيل المثال، تصف كيف يؤثر مجموع التناظر (symmetry group) لنظامٍ فيزيائي على حلول المعادلات التي تصف هذا النظام.[5]

من السمات البارزة لنظرية التمثيل انتشارها في الرياضيات. هناك وجهان لهذا. الأول، تطبيقات نظرية التمثيل متنوعة:[6] بالإضافة إلى تأثيرها على الجبر، تنير نظرية التمثيل وتعمم تحليل فورييه (Fourier analysis) بشكلٍ كبير من خلال التحليل التوافقي (harmonic analysis)‏,‏[7] ترتبط بعمق بـالهندسة عبر النظرية الثابتة (invariant theory) وبرنامج إيرلانجن (Erlangen program)،‏[8] ولها تأثير عميق من الناحية النظرية من خلال نموذج تشكيلي تلقائي (automorphic form) وبرنامج لانلاندز (Langlands program).‏[9] الجانب الثاني هو تنوع أساليب نظرية التمثيل. يمكن دراسة نفس الأهداف باستخدام أساليب من الهندسة الجبرية (algebraic geometry), ونظرية الوحدة النمطية (module theory), ونظرية الأعداد التحليلية (analytic number theory), والهندسة التفاضلية (differential geometry), ونظرية المؤثر (operator theory), والتوافقيات الجبرية (algebraic combinatorics) والطوبولوجيا (topology).‏[10]

أدى نجاح نظرية التمثيل إلى تعميمات عديدة. التصنيف (categorical one) هي واحدة من أكثر التعميمات.[11] يمكن اعتبار الأهداف الجبرية التي تنطبق عليها نظرية التمثيل أنواعًا معينة من الفئات، والتمثيل مثل المدلل (functor) من فئة الهدف إلى فئة متجه المسافات (category of vector spaces). ويشير هذا الوصف إلى تعميمين واضحين: الأول، يمكن استبدال الأهداف الجبرية بفئاتٍ أكثر عمومية؛ يمكن استبدال الفئة الثانية المستهدَفة بفئاتٍ أخرى مفهومة جيدًا.

انظر أيضًا

ملاحظات

  1. ^ Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998).
  2. ^ For the history of the representation theory of finite groups, see Lam (1998). For algebraic and Lie groups, see Borel (2001).
  3. ^ هناك العديد من الكتب المدرسية عن متجه المسافات والجبر الخطي. لمعالجةٍ متقدمة، انظر Kostrikin & Manin (1997).
  4. ^ Sally & Vogan 1989.
  5. ^ Sternberg 1994.
  6. ^ Lam 1998، صفحة 372.
  7. ^ Folland 1995.‏‏
  8. ^ Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997.
  9. ^ Borel & Casselman 1979, Gelbert 1984.
  10. ^ See the previous footnotes and also Borel (2001).
  11. ^ Simson, Skowronski & Assem 2007.

المراجع

  • Alperin، J. L. (1986)، Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups، Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-44926-7.
  • Bargmann، V. (1947)، "Irreducible unitary representations of the Lorenz group"، Annals of Mathematics، Annals of Mathematics، ج. 48 ع. 3: 568–640، DOI:10.2307/1969129، JSTOR:1969129.
  • Borel، Armand (2001)، Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups، American Mathematical Society، ISBN:978-0-8218-0288-5.
  • Borel، Armand؛ Casselman، W. (1979)، Automorphic Forms, Representations, and L-functions، American Mathematical Society، ISBN:978-0-8218-1435-2.
  • Curtis، Charles W.؛ Reiner، Irving (1962)، Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras، John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore)، ISBN:978-0-470-18975-7 (ISBN 978-0821840665) {{استشهاد}}: تأكد من صحة |isbn= القيمة: حرف غير صالح (مساعدة).
  • Gelbart، Stephen (1984)، "An Elementary Introduction to the Langlands Program"، Bulletin of the American Mathematical Society، ج. 10 ع. 2: 177–219، DOI:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
  • Folland، Gerald B. (1995)، A Course in Abstract Harmonic Analysis، CRC Press، ISBN:978-0-8493-8490-5.
  • Goodman، Roe؛ Wallach، Nolan R. (1998)، Representations and Invariants of the Classical Groups، Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-66348-9.
  • Gordon، James؛ Liebeck، Martin (1993)، Representations and Characters of Finite Groups، Cambridge: Cambridge University Press، ISBN 978-0-521-44590-0.
  • Helgason، Sigurdur (1978)، Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces، Academic Press، ISBN 978-0-12-338460-7
  • Humphreys، James E. (1972a)، Introduction to Lie Algebras and Representation Theory، Birkhäuser، ISBN:978-0-387-90053-7.
  • Humphreys، James E. (1972b)، Linear Algebraic Groups، Graduate Texts in Mathematics، Berlin, New York: Springer-Verlag، ج. 21، ISBN:978-0-387-90108-4، ماثماتيكل ريفيوز0396773
  • Jantzen، Jens Carsten (2003)، Representations of Algebraic Groups، American Mathematical Society، ISBN:978-0-8218-3527-2.
  • Kac، Victor G. (1977)، "Lie superalgebras"، Advances in Mathematics، ج. 26 ع. 1: 8–96، DOI:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
  • Kac، Victor G. (1990)، Infinite Dimensional Lie Algebras (ط. 3rd)، Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-46693-6.
  • Knapp، Anthony W. (2001)، Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples، Princeton University Press، ISBN:978-0-691-09089-4.
  • Kim، Shoon Kyung (1999)، Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals، Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-64062-6.
  • Kostrikin، A. I.؛ Manin، Yuri I. (1997)، Linear Algebra and Geometry، Taylor & Francis، ISBN:978-90-5699-049-7.
  • Lam، T. Y. (1998)، "Representations of finite groups: a hundred years"، Notices of the AMS، American Mathematical Society، ج. 45 ع. 3, 4: 361–372 (Part I), 465–474 (Part II).
  • Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
  • Mumford، David؛ Fogarty، J.؛ Kirwan، F. (1994)، Geometric invariant theory، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] (ط. 3rd)، Berlin, New York: Springer-Verlag، ج. 34، ISBN:978-3-540-56963-3، ماثماتيكل ريفيوز0214602(1st ed. 1965) ماثماتيكل ريفيوز0719371 (2nd ed.) ماثماتيكل ريفيوز1304906(3rd ed.)
  • Olver، Peter J. (1999)، Classical invariant theory، Cambridge: Cambridge University Press، ISBN:0-521-55821-2.
  • Peter، F.؛ Weyl، Hermann (1927)، "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe"، Mathematische Annalen، ج. 97 ع. 1: 737–755، DOI:10.1007/BF01447892.
  • Pontrjagin، Lev S. (1934)، "The theory of topological commutative groups"، Annals of Mathematics، Annals of Mathematics، ج. 35 ع. 2: 361–388، DOI:10.2307/1968438، JSTOR:1968438.
  • Sally، Paul؛ Vogan، David A. (1989)، Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups، American Mathematical Society، ISBN:978-0-8218-1526-7.
  • Serre، Jean-Pierre (1977)، Linear Representations of Finite Groups، Springer-Verlag، ISBN 978-0387901909.
  • Sharpe، Richard W. (1997)، Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program، Springer، ISBN:978-0-387-94732-7.
  • Simson، Daniel؛ Skowronski، Andrzej؛ Assem، Ibrahim (2007)، Elements of the Representation Theory of Associative Algebras، Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-88218-7.
  • Sternberg، Shlomo (1994)، Group Theory and Physics، Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-55885-3.
  • Weyl، Hermann (1928)، Gruppentheorie und Quantenmechanik (ط. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931)، S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover)، ISBN:978-0-486-60269-1.
  • Weyl، Hermann (1946)، The Classical Groups: Their Invariants and Representations (ط. 2nd)، Princeton University Press (reprinted 1997)، ISBN:978-0-691-05756-9.
  • Wigner، Eugene P. (1939)، "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group"، Annals of Mathematics، Annals of Mathematics، ج. 40 ع. 1: 149–204، DOI:10.2307/1968551، JSTOR:1968551.
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=نظرية_التمثيل&oldid=10930511»