محدد (مصفوفات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من محدد)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر الخطي، الُمحَدِّد (بالإنكليزية: Determinant) لمصفوفة مربعة n×n، هو عدد غير متجة، يكون مساوٍيا لصفر إذا وفقط إذا كانت المصفوفة غير معكوسة (أنظر معكوس المصفوفة ).

يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما A \!\, |A| أو \!\, \det(A) .

للمحدد معنى هندسي: إذا كانت A مصفوفة مربعة حقيقية، المحدد لها مساوٍ لحجم متوازي السطوح (في فضاء إقليدي)، ورؤوس متوازي السطوح هي أعمدة المحدد.

بناء على نظرية : المحدد مساوٍ لصفر إذا وفقط إذا كانت المصفوفة غير معكوسة.

تعريف[عدل]

محدد مصفوفة 2X2[عدل]

لمحدد 2X2, طريقة الحساب هي:

\begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad - bc\

وبشكل خاص:

\begin{vmatrix} 1 & 2\\1 & 3 \end{vmatrix}= 1\cdot 3 - 2\cdot 1 = 1\

لذلك المصفوفة هي معكوسة. وبالتالي، معكوس المصفوفة هو:

\begin{bmatrix} 1 & 2\\1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2\\-1 & 1 \end{bmatrix}

بالرغم من ذلك المصفوفة الآتية هي غير معكوسة:

\begin{bmatrix} 1 & 2\\2 & 4\end{bmatrix}

لذلك، بما أنها غير معكوسة، حساب المحدد هو 0:

\begin{vmatrix} 1 & 2\\2 & 4\end{vmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0

محدد مصفوفة 3X3[عدل]

ا

محدد مصفوفة nXn[عدل]

يُحدد محدد مصفوفة ذات بُعد ما باستعمال صيغة لايبنتس أو صيغة لابلاس.

صيغة لايبنتس من أجل حساب محدد مصفوفة A بعدها n × n تأتي فيما يلي:

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}.\

انظر إلى تبديل (رياضيات) وإلى زمرة متماثلة.

خصائص المحدد[عدل]

  • \det(I_n) = 1 حيث In هي مصفوفة الوحدة ذات البعد n × n.
  • \det(A^{\rm T}) = \det(A).
  • \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}=\det(A)^{-1}.
  • إذا كانت A و B مصفوفتين مربعتين، فإن:
\det(AB) = \det(A)\det(B).
  • \det(cA) = c^n\det(A) حيث A مصفوفة بعدها n × n.
  • إذا كانت A مصفوفة مثلثية (أي أن ai,j = 0 كلما توفر i > j، أو بشكل مماثل، كلما توفر i < j)، فإن محدد هذه المصفوفة هو جداء عناصرها الواقعة على القطر الرئيسي:
\det(A) =  a_{1,1} a_{2,2} \cdots a_{n,n} = \prod_{i=1}^n a_{i,i}.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]


Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.