مفهوم الانبساط

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

الانبساط خاصية من خاصيات النظم مثلها مثل خاصية الخطية و خاصية الإستقرار و غيرها وهي خاصية تدرس و تستعمل عادة في النظم الغير الخطية وهي تشبه تقريبا خاصية كون نظام ما قابل للقلب أو للعكس ( invertible) أي أنه إذا كان لديك مخارج النظام يمكنك حساب مداخله. أما باالنسبة للنظم الخطية فإن خاصية الانبساط هي نفسها خاصية قابلية التحكم

محتويات

1 التعريف الرياضي الدقيق للانبساط
2 إستعمالات و فوائد خاصية الانبساط
3 العلاقة بين قابلية التحكم و الانبساط في النظم الخطية
4 أمثلة
5 مواضيع متعلقة
6 وصلات خارجية و كتب

[عدل] التعريف الرياضي الدقيق للانبساط

إذا إعتبرنا النظام:

$\begin{matrix}S: \dot{x} = f(x,u) \quad t> 0 \quad x(0)= x_{0} \quad x \in \mathbb{R}^{n} \quad u \in \mathbb{R}^{m} \quad Rang \frac{\partial{f}}{\partial{u}}=m \end{matrix}$

ذو المخرج:

$y_{i} = h_{i}(x) \quad i=1, \ldots ,m$

فإن هذا النظام يسمى منبسط إذا أمكن إيجاد مخرج (إفتراضي) $z=(z_{1}, \ldots , z_{m})$ يحقق الشروط التالية:

__1__ المخرج z هو دالة من حالات النظام x و مداخله u بالإضافة إلى عدد منتهي من مشتقات المدخل $z = F(x,u,\dot{u}, \ldots ,u^{\alpha})$

__2__يمكن أن نكتب مداخل النظام u و حالته x و مخرجه (الحقيقي) y كدالة من z و عدد منتهي من مشتقات z

$x = \Psi_{1}(z,\ldots ,z^{(\beta)})$

$u = \Psi_{2}(z, \ldots ,z^{(\beta + 1)})$

$y = \Psi_{3}(z, \ldots ,z^{(\beta - r)})$

__3__ لا يوجد دالة بحيث: $\phi(z, \ldots , z^{\eta}) = 0$

ملاحظات:

r هنا يرمز إلى الدرجة نسبية للنظام
إذا كان الشرط الثاني متحققا فإن الشرط الثالث مكافئ ل $dim\ z = dim\ u$
المخرج z يسمى المخرج المنبسط

[عدل] إستعمالات و فوائد خاصية الانبساط

يمكن بالنسبة للأنظمة التي تتمتع بخاصية الانبساط تصميم متحكمات بدون اللجوء إلى حل معادلات تفاضلية أو معادلات تفاضية لاخطية تحكم النظام. و تستغل خاصية الانبساط عادة في قضايا تتبع المسارات حيث يكون على نظام ما أن يتبع مسار معين كأن تتبع الحرارة دالة معينة أو أن تتبع عربة أو سفينة مسارا معينا. فإذا كان المسار معروفا مسبقا أي أن المسار المراد إتباعه معروف مسبقا فإنه يمكن حساب مداخل النظام بحيث تكون مخارجه المسار المراد و ذلك دون اللجوء إلى حل معادلات تفاضلية مما يمثل أيضا أفضلية بالنسبة لأنظمة الزمن الحقيقي التي عادة يجب أن تصل بسرعة إلى حل و الأنظمة ذات القدرة الحسابية المحدودة التي لا يمكنها أن تقوم بعمليات حسابية معقدة في وقت معقول.