نظرية الإجهادات متناهية الصغر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
ميكانيكا الأوساط المتصلة
BernoullisLawDerivationDiagram.svg


عرض · نقاش · تعديل

في ميكانيكا المتصل, نظرية الإجهادات متناهية الصغر, يطلق عليها أيضا نظرية التشوه الصغير, نظرية الإزاحة الصغرى, أو نظرية تدرج الإزاحة الصغرى, تتعامل مع التشوهات لجسم متصل. بالنسبة للتشوه المتناهي في الصغر، تكون الإزاحات ووتدرجات الإزاحة صغيرة جدا مقارنة بالوحدة, أي, \|\mathbf u\| \ll 1 \,\! و\|\nabla \mathbf u\| \ll 1 \,\!, سامحة لـ الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد \mathbf E\,\!, وموتّر أويلر محدود الاجهاد \mathbf e\,\!, بعبارة أخرى الحدود الغير خطية أو حدود الرتبة الثانية لموتّر الاجهادالمحدود يمكن إهمالها. تكون موتّرات لاغرانج وأويلر محدودة الانفعال نفسها تقريبا ويمكن تقريبها بـموتّر اجهاد متناهي الصغر أو موتّر اجهاد كوشي, \boldsymbol\varepsilon\,\!. على ذلك,

\mathbf E \approx \mathbf e \approx \boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left(\mathbf u\nabla^T + \mathbf u\nabla\right)\,\!

أو

E_{KL}\approx e_{rs}\approx\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\,\!

تستخدم نظرية الاجهادات متناهية الصغر في تحليل تشوهات المواد التي تظهر سلوكا مرنا، مثل المواد الموجودة في تطبيقات الهندسة الميكانيكية والمدنية.

موتّر اجهاد متناهي الصغر[عدل]

من أجل تشوهات متناهية الصغر لجسم المتصل, والتي تكون فيها الازاحة وتدرج الإزاحة صغيرة مقارنة بالوحدة، أي, \|\mathbf u\| \ll 1 \,\! و\|\nabla \mathbf u\| \ll 1 \,\!, يكون من الممكن الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد \mathbf E\,\!, وموتّر أويلر محدود الاجهاد \mathbf e\,\!, مع إهمال الحدود الغير خطية، يكون لدينا

\mathbf E =\frac{1}{2}\left(\mathbf u\nabla_{\mathbf X}^T + \mathbf u\nabla_{\mathbf X} + \mathbf u\nabla_{\mathbf X}^T \mathbf u\nabla_{\mathbf X}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\mathbf u\nabla_{\mathbf X}^T + \mathbf u\nabla_{\mathbf X}\right)\,\!

أو

E_{KL}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+\frac{\partial U_M}{\partial X_K}\frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}\right)\,\!

و

\mathbf e =\frac{1}{2}\left(\mathbf u\nabla_{\mathbf x}^T + \mathbf u\nabla_{\mathbf x} - \mathbf u\nabla_{\mathbf x}^T \mathbf u\nabla_{\mathbf x}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\mathbf u\nabla_{\mathbf x}^T + \mathbf u\nabla_{\mathbf x}\right)\,\!

أو

e_{rs}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r}-\frac{\partial u_k}{\partial x_r}\frac{\partial u_k}{\partial x_s}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r}\right)\,\!

تقتضي هذه الخطية بأن الوصف اللاغرانجي والوصف الأويلري تكون نفسها تقريبا طالما هناك فرق بسيط في المادة والإحداثيات المكانية لنقطة مادة معطاة في المتصل. لهذا، تكون مركبات التدرج الإزاحي المادي والمكاني متساوية تقريبا وعليه

\mathbf E \approx \mathbf e \approx \boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left(\mathbf u\nabla^T + \mathbf u\nabla\right) \qquad \text{or} \qquad E_{KL}\approx e_{rs}\approx\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\,\!

حيث \varepsilon_{ij}\,\! مركبات الاجهاد متناهي الصغر \boldsymbol \varepsilon\,\!, تدعى أيضا موتّر إجهاد كوشي, موتّر اجهاد خطي, أو موتّر إجهاد صغير.

\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right) = 
\left[\begin{matrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
   \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
   \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
  \end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
  \frac{\partial u_1}{\partial x_1} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right) & \frac{\partial u_2}{\partial x_2} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) & \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \\
  \end{matrix}\right]

أو باستعمال علامات أخرى:

\left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
   \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
   \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
  \end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
  \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y}\right) \\
   \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right) & \frac{\partial u_z}{\partial z} \\
  \end{matrix}\right] \,\!

أبعد من ذلك,

\boldsymbol\varepsilon=\frac{1}{2}\left(\mathbf F+\mathbf F^T\right)-\mathbf I\,\!

بأخذ تعبيري لاغرانج وأويلر محدودي الاجهاد بعين الاعتبار يصبح لدينا

\mathbf E_{(m)}=\frac{1}{2m}(\mathbf U^{2m}-I)\approx \varepsilon\,\!
\mathbf e_{(m)}=\frac{1}{2m}(\mathbf V^{2m}-I)\approx \varepsilon\,\!

الاشتقاق الهندسي لموتر الاجهاد المتناهي الصغر[عدل]

شكل1. تشوه هندسي ثنائي البعد لعنصر مادي متناهي الصغر.

باعتبار تشوه ثنائي البعد لعنصر مادي مستطيل متناهي الصغر بالأبعاد dx\,\! × dy\,\! (شكل 1), والتي تأخذ شكل المعين بعد التشوه يكون

\begin{align}
\overline {ab} &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\
&= \sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2}dx \\
\end{align}\,\!

في كل تدرج إزاحة صغير, \|\nabla \mathbf u\| \ll 1 \,\!, لدينا

\overline {ab} \approx dx +\frac{\partial u_x}{\partial x}dx\,\!

يكون التشوه باتجاه العنصر المستطيل x\,\!-معرفا بـ

\varepsilon_x = \frac{\overline {ab}-\overline {AB}}{\overline {AB}}\,\!

وإذا علم أن \overline {AB}= dx\,\!, يصبح

\varepsilon_x = \frac{\partial u_x}{\partial x}\,\!

بالمثل, الاجهاد العمودي باتجاه y\,\!, وباتجاه z\,\! يصبح

\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad , \qquad  \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}\,\!

يعرف الاجهاد القصي الهندسي, التغير في الزاوية بين الخوط المتعامدة للمادة, في هذه الحالة الخط \overline {AC}\,\! و\overline {AB}\,\!, تعرف بالعلاقة

\gamma_{xy}= \alpha + \beta\,\!

من الشكل الهندسي 1 لدينا

\tan \alpha=\frac{\dfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\dfrac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\dfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\dfrac{\partial u_x}{\partial x}} \quad , \qquad \tan \beta=\frac{\dfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\dfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\dfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\dfrac{\partial u_y}{\partial y}}\,\!

للدورانات الصغيرة, أي \alpha\,\! و\beta\,\! و\ll 1\,\! لدينا

\tan \alpha \approx \alpha \quad , \qquad \tan \beta \approx \beta\,\!

مرة أخرى، لتدرجات الإزاحة الصغيرة يكون لدينا

\alpha=\frac{\partial u_y}{\partial x} \quad , \qquad \beta=\frac{\partial u_x}{\partial y}\,\!

على ذلك

\gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}\,\!

بالتبديل بين x\,\! وy\,\! وu_x\,\! وu_y\,\!, يمكن اثبات أن \gamma_{xy} = \gamma_{yx}\,\!

بالمثل, للمستويات y\,\!-z\,\! and x\,\!-z\,\! ، لدينا

خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): \gamma_{yz}=\gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad، \qquad \gamma_{zx}=\gamma_{xz}= \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\,\!


يمكن ملاحظة أن مركبات اجهاد القص الموترية لموتر الاجهاد متناهي الصغر يمكن التعبير عنها باستخدام التعريف الهندسي للاجهاد, \gamma\,\!, بالعلاقة

\left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
   \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
   \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
  \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \gamma_{xy}/2 & \gamma_{xz}/2 \\
   \gamma_{yx}/2 & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz}/2 \\
   \gamma_{zx}/2 & \gamma_{zy}/2 & \varepsilon_{zz} \\
  \end{matrix}\right]\,\!

التفسير الفيزيائي[عدل]

من نظرية الاجهاد المحدود لدينا

d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 = d\mathbf X \cdot 2\mathbf E \cdot d\mathbf X \quad\text{or}\quad (dx)^2 - (dX)^2 = 2E_{KL}\,dX_K\,dX_L\,\!

وعليه لدينا من الاجهاد متناهي الصغر

d\mathbf{x}^2 - d\mathbf{X}^2 = d\mathbf X \cdot 2\mathbf \boldsymbol \varepsilon \cdot d\mathbf X \quad\text{or}\quad (dx)^2 - (dX)^2 = 2\varepsilon_{KL}\,dX_K\,dX_L\,\!

بالقسمة على (dX)^2\,\! يصبح

\frac{dx-dX}{dX}\frac{dx+dX}{dX}=2\varepsilon_{ij}\frac{dX_i}{dX}\frac{dX_j}{dX}\,\!

للتشوهات الصغيرة نفرض أن dx \approx dX\,\!, يصبح الحد على الطرف الأيسر : \frac{dx+dX}{dX} \approx 2\,\!.

وعليه

\frac{dx-dX}{dX}=\varepsilon_{ij}N_iN_j = \mathbf N \cdot \boldsymbol \varepsilon \cdot \mathbf N\,\!

حيثN_i=\frac{dX_i}{dX}\,\!, متجه الوحدة باتجاه d\mathbf X\,\!, والجانب الأيسر من التعبير الاجهاد المتعامد e_{(\mathbf N)}\,\! باتجاه \mathbf N\,\!. في الحالة الخاصة من \mathbf N\,\! في اتجاه X_1\,\! أي \mathbf N=\mathbf I_1\,\!, لدينا

e_{(\mathbf I_1)}=\mathbf I_1 \cdot \boldsymbol \varepsilon \cdot \mathbf I_1=\varepsilon_{11}\,\!

بالمثل, \mathbf N=\mathbf I_2\,\! و\mathbf N=\mathbf I_3\,\! يمكن إيجاد \varepsilon_{22}\,\! و\varepsilon_{33}\,\! للإجهاد العمودي على التوالي. لذلك, تكون العناصر القطرية لموتر الاجهاد العمودي هي الاجهادات العمودية باتجاه الاحداثيات.

التوتر الحجمي[عدل]

إن التعرض (التغير النسبي في الحجم) هو أثر الموتر:

\delta=\frac{\Delta V}{V_0} = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}\,\!

في الواقع, إذا أخذنا مكعبا بعين الاعتبار بطول حافة a, فإنه شبه مكعب بعد التشوه (لا تتغير الزوايا في الحجم) مع الابعاد a \cdot (1 + \varepsilon_{11}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{22}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{33})\,\! وV0 = a3, وعليه

\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left (1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right) \cdot a^3 - a^3}{a^3}\,\!

عندما نأخذ التشوهات الصغيرة بعين الاعتبار,

1 \gg \varepsilon_{ii} \gg \varepsilon_{ii} \cdot \varepsilon_{jj} \gg \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \,\!

هي لذلك الصيغة.

Approximation volume deformation.png
التغيرات الحقيقية في الحجم (أعلى) والتقريب (الأسفل): يوضح الرسم الأخضر الحجم المقدر بينما الرسم البرتقالي يوضح الحجم المهمل

في حالة القص النقي, يمكن ملاحظة أنه لايوجد تغير في الحجم.

موتر محرف الاجهاد[عدل]

موتر الاجهاد متناهي الصغر \varepsilon_{ij}\,\!, يمكن التعبير عنه مثل التعبير عنيموتر الاجهاد كمجموع من موترين اخرين:

  1. موتر الاجهاد المتوسط أوموتر الاجهاد الحجمي أو موتر الاجهاد الكروي, \varepsilon_M\delta_{ij}\,\!, نسبة للتعرض أو التغير الحجمي; و
  2. مركبة انحرافية موتر محرف الاجهاد, \varepsilon'_{ij}\,\!, نسبة للتشويه.
\varepsilon_{ij}= \varepsilon'_{ij} + \varepsilon_M\delta_{ij}\,\!

حيث\varepsilon_M\,\! متوسط الاجهاد المعطى بالعلاقة

\varepsilon_M=\frac{\varepsilon_{kk}}{3}=\frac{\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}}{3}=\tfrac{1}{3}I^e_1\,\!

يمكن الحصول على موتر محرف الاجهاد بطرح موتر متوسط الاجهاد من موتر الاجهاد متناهي الصغر:

\begin{align}
\ \varepsilon'_{ij} &= \varepsilon_{ij} - \frac{\varepsilon_{kk}}{3}\delta_{ij} \\
 \left[{\begin{matrix}
   \varepsilon'_{11} & \varepsilon'_{12} & \varepsilon'_{13} \\
   \varepsilon'_{21} & \varepsilon'_{22} & \varepsilon'_{23} \\
   \varepsilon'_{31} & \varepsilon'_{32} & \varepsilon'_{33} \\
  \end{matrix}}\right]
&=\left[{\begin{matrix}
   \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
   \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
   \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
  \end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}
   \varepsilon_M & 0 & 0 \\
   0 & \varepsilon_M & 0 \\
   0 & 0 & \varepsilon_M \\
  \end{matrix}}\right] \\
&=\left[{\begin{matrix}
   \varepsilon_{11}-\varepsilon_M & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
   \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}-\varepsilon_M & \varepsilon_{23} \\
   \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}-\varepsilon_M \\
  \end{matrix}}\right] \\
\end{align}\,\!

معادلات التوافق[عدل]

بالنسبة لمركبات الاجهاد الموصوفة سابقا \varepsilon_{ij}\,\! تمثل معادلة موتر الاجهاد u_{i,j}+u_{j,i}= 2 \varepsilon_{ij}\,\! نظاما من ست معادلات تفاضلية لإيجاد مركبات الازاحة الثلاث u_i\,\!, بإعطاء نظاما مكتمل التحقيق. لذت, لايوجد حل بشكل عام لمركبات اختيارية من الاجهاد. لهذا السبب, يتم افتراض بعض القيود والتي تدعى معادلات التوافق. بإضافة معادلات التوافق الثلاث، يتم إنقاص المعادلات المستقلة إلى ثلاثة, والتي تتلائم مع مركبات الازاحة المجهولة. اكتشفت هذه القيود من قبل ساينت- فينات، كما يطلق عليها "معادلات توافق ساينت-فينات".

تفيد دالة التوافق في التأكد من دالة ازاحة متصلة وحيدة القيمة u_i\,\!. إذا كان الوسط المرن مرئيا على هيئة مكعبات متناهية الصغر في الحالة اللااجهادية, بعد اجهاد الوسط, قد لاينتج عن موتر اجهاد اختياري حالة تظل فيها المكعبات متسقة فيما بينها بدون تداخل.

بعلامة المعامل, يعبر عن معادلات التوافق

\varepsilon_{ij,km}+\varepsilon_{km,ij}-\varepsilon_{ik,jm}-\varepsilon_{jm,ik}=0\,\!

توترالمستوى[عدل]

في مركبات الهندسة التطبيقية, الاجهاد والتوتر هي موترات ثلاثية الأبعاد ولكن ذات بنية منشورية مثل قضيب معدني طويل, يكون الطول أكبر بكثير من البعدين الاخرين. يكون التوتر المصاحب للطول, أي التوتر العمودي \epsilon_{33}\,\! وتوترات القص \epsilon_{13}\,\! و\epsilon_{23}\,\! (إذا كان الطول هو البعد الثالث) يتم مقارنتها بمادة أخرى قريبة وتكون أصغر بالمقارنة بالتوترات المقطعية العرضية. يمكن مقاربة موتر الاجهاد حينئذ بالعلاقة:

\underline{\underline{\epsilon}} = \begin{bmatrix}
\epsilon_{11} & \epsilon_{12} & 0 \\
\epsilon_{21} & \epsilon_{22} & 0 \\
     0      &     0       & 0\end{bmatrix}\,\!

حيث تشير المعاملات ذات الخطوط المضاعفة إلى موتر من الرتبة الثانية. تدعى حالة التوتر توتر المستوى. يكون موتر الاجهاد المقابل هو:

\underline{\underline{\sigma}} = \begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\
     0      &     0       & \sigma_{33}\end{bmatrix}\,\!

حيث أن \sigma_{33}\,\! الغير صفرية مطلوبة لإبقاء الثابت \epsilon_{33} = 0\,\!. يمكن إزالة هذا الحد مؤقتا من التحليل والإبقاء على حدود المستوى, إنقاص المسألة الثلاثية البعد بكفاءة إلى مسألة ثنائية البعد.

اجهاد ضد المستوى[عدل]

الاجهاد ضد أو عكس المستوى هو حالة مكانية أخرى من الاجهاد التي يمكن أن تحدث في جسم، مثلا في منطقة قريبة من الخلع. يعطى موتر الاجهاد لضد المستوى بالعلاقة

\underline{\underline{\epsilon}} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \epsilon_{13} \\
0 & 0 & \epsilon_{23}\\
 \epsilon_{13}    &    \epsilon_{23}      & 0\end{bmatrix}\,\!

إنظر أيضا[عدل]