من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين تقريبا القيمة التالية:
![{\displaystyle \ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13c1be02315217e5bc5f20f64905a7d2539df2f)
يحصل على اللوغاريتم الطبيعي للعدد اثنين في قواعد أخرى باستعمال الصيغ التالية:
![{\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98fb884955db7aa25e43bc4edabdefce5334651)
خصوصا، اللوغاريتم عشري للعدد اثنين يساوي ما يلي:
![{\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5cff2c85eb70732ff035c04e16e3c92c63ef5dc)
بينما مقلوب هذا العدد، والذي يعرف باللوغاريتم الثنائي، فقيمته تساوي:
(
A020862).[1][2]
التمثيل بالمتسلسلات[عدل]
المتسلسلة المتناسقة المتناوبة[عدل]
تعرف هذه المتسلسلة باسم «المتسلسلة المتناسقة المتناوبة».
![{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810fbbba9fd619a76e2822fae7cb8293c2ae675a)
![{\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37feb9d840ee1198380a30440bac723101cdc8d0)
![{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97e2fd86a2e6a514c469282ad767dbb7f6e7c52)
![{\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc8b1d77d9ceb053e66a680309bc881709bd1d3)
![{\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355829e47223b3b9964f6378eb95882619d94ae6)
تمثيلات على شكل بي بي بي[عدل]
![{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dd324c39b3690eb9eb999b889cf3ab8d3af764)
التمثيل بالتكامل[عدل]
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0775dbf9dfc645f6c22fabb5debc0c108d4ace)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cce74018a11b2d731e915064837e635712e438)
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8ffb78882a7259d829b3096ee2cd6cbdc47bdd)
![{\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe571940064bac86cf57a2480741c7439944b57)
تمثيلات أخرى[عدل]
انظر أيضا[عدل]
مراجع[عدل]
وصلات خارجية[عدل]