اللوغاريتم الطبيعي ل 2

يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين تقريبا القيمة التالية:

$\ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.$

يحصل على اللوغاريتم الطبيعي للعدد اثنين في قواعد أخرى باستعمال الصيغ التالية:

$\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.$

خصوصا، اللوغاريتم عشري للعدد اثنين يساوي ما يلي:

$\log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.$

بينما مقلوب هذا العدد، والذي يعرف باللوغاريتم الثنائي، فقيمته تساوي:

$\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095$ ( A020862).

التمثيل بالمتسلسلات

المتسلسلة المتناسقة المتناوبة

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .$ تعرف هذه المتسلسلة باسم «المتسلسلة المتناسقة المتناوبة».

$\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.$

$\ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.$

$\ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.$

$\ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.$

تمثيلات على شكل بي بي بي

$\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.$

التمثيل بالتكامل

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2$

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2$

$-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2$