توفيق (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

التوافيق (بالإنجليزية: Combination)‏ (جمع التوفيق) أو التوفيقاتالتوفيقة) ويسمى أيضا التوليف والتوليفة والتركيب، هي عدد التشكيلات الممكنه لانتقاء مجموعة جزئية من مجموعة كلية من العناصر عندما يكون ليس هناك أهمية للترتيب.أو بعبارة أخرى, «التوافيق» هي عبارة عن عدد الطرق التي يمكن فيها انتقاء «ر» من العناصر من ضمن «ن» من العناصر المتوفرة دون مراعاة لترتيب تسلسل العناصر المنتقاة ضمن التشكيلات الممكنة للمجموعة الجزئية.[1][2][3] عدد التوافيق أي مجموع الكيفيات التي يمكن أن ننتقي بها أفراد المجموعة دون مراعاة الترتيب.,ويشير n لعدد أفراد المجموعة التي يراد ترتيبها. و k يرمز إلى كيفية اخذ أفراد المجموعة.

على سبيل المثال، ليكن لدينا ثلاثة فواكة وهي تفاحة وبرتقالة و كمثرى، فإنه يوجد ثلاث تشكيلات من عنصرين مختلفين منتقاه من هذه المجموعة وهي كالتالي:

تفاحه وكمثرى أو تفاحة وبرتقالة أو كمثرى وبرتقالة. بصيغة رياضية، توافيق لعدد (k-combination ) من مجموعة ما هي مجموعة جزئية بها من العناصر المختلفة من . فإذا كانت المجموعة بها من العناصر فإن عدد توافيق لعدد من يساوي المعامل الثنائي المعرف بالعلاقة التالية:
،

والتي يمكن كتابته بدلالة المضروب بالشكل شريطة أن وتساوي صفر عندما . دائما يرمز لمجموعة جميع التوافيق لعدد من مجموعة بالرمز .
التوافيق أو التراكيب هي تشكيلة مكونة من من العناصر مأخوذة من مجموعة بها عدد عنصر بحيث اختيار العناصر هنا يتم بنفس الوقت وبدون تكرار. في حالة السماح بالتكرار فإن التراكيب في هذه الحالة تسمى بعدة مسميات أخرى ك مختارات لعدد ( k-selection )[4] أو مجموعة متعددة من( k-multiset )[5] أو توافيق من بتكرار (k-combination with repetition ).[6] ففي المثال السابق، إذا سمحنا بتكرار العناصر عند إنتقاء فاكهتين من مجموعة الفواكة الثلاث فإنه بالإضافة إلى ماسبق الحصول عليه سيكون لدينا ثلاث مختارات إضافية هي: تفاحتين أو برتقالتين أو اثنان من الكمثرى.

في هذا المثال من السهل كتابة جميع التوافيق الممكنة لقلة الأعداد هنا لكن هذا مستحيل في حالة الجموعات الكبرى. فعلى سبيل المثال في لعبة poker hand يمكن وصف توافيق لعدد من البطاقات من مختارة من بطاقة ( أي أن ). لابد من أن يكون اختيار خمس بطاقات مختلفة لكن لايهم في هذه الحالة الترتيب. يوجد من التوافيق الممكنة في هذا المثال والذي يستحيل كتابتها جميعا لهذا العدد الكبير.

مثال[عدل]

لنفرض انه لدينا في صندوق أسود به اربع كرات ملونة سوداء وحمراء وزرقاء وصفراء ونريد سحب كرتين من الصندوق معا. عدد الحالات الممكنة هي:

n : عدد الكرات

K : عدد الكرات المراد انتقاؤها (2)

أي 6 حالات ممكنة وهي كالتالي

(سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، صفراء)
(سوداء، حمراء) (حمراء، صفراء)
(سوداء، صفراء)

حيث لايوجد هنا أهمية للترتيب كون الكرتين يسحبان معا، بمعنى اوضح الثنائية (سوداء، زرقاء) هي نفسها (زرقاء، سوداء) وتعد مرة واحدة وليس مرتين.

عدد من التوافيق (k-combinations )[عدل]

يرمز لتوافيق بعدد من مجموعة بها من العناصر بالرمز أو برموز أخرى مختلفة مثل أوأو أو لكن الرمز هو المعتاد إستخدامه في الكتابات الفرنسية والرومانية والروسية والصينية.[7] نفس العدد يستخدم في الكتب الرياضية بالرمز كمعامل لمعادلة ذات الحدين

فبالتالي فإنه يسمى معامل ثنائي (binomial coefficient ). بالتالي ممكن تعريف هذا العدد بالمعادلة التالية في حالة

،

ومن الواضح هنا أن . في حالة فإن فإن .

ولإستخدام هذه المعاملات لحساب توافيق بعدد من مجموعة ، فإنه يمكن أولا اعتبار مجموعة بها من المتغيرات المختلفة والتي تم تمييزها بالعناصر من ، ثم حساب الناتج على كل عناصر  :

.

هذا الحاصل به من الحدود المختلفة مقابل كل المجموعات الجزئية من ، ومقابل كل مجموعة جزئية حاصل ضرب المتغيرات المقابلة . نختارالآن لكل قيم فإن حاصل الضرب سيكون في هذه الحالة والحد المقابل لكل توافيق لعدد سيصبح . فبالتالي فإن المعاملات الناتجة من هذه القوى يساوي عدد التوافيق لعدد .

يمكن حساب المعاملات الثنائية مباشرة بطرق مختلفة. لحساب هذه المعاملات من فإنه يمكن استخدام علاقة الإستدعاء الذاتي كالتالي

لكل .

وهذه المساواة ناتجة من . يتم حساب كل معامل ثنائي بإستخدام التعريف

.

عندما تكون أكبر من ، فإنه سيكون هناك حدود مشتركة بين البسط والمقام بالمعامل الثنائي وباختصارها ينتج لنا

لكل .

أيضا يمكن كتابة المعامل الثنائي بدلالة المضروب بالتعريف التالي

.

مثال لحساب التوافيق[عدل]

في هذا المثال نريد حساب التوافيق لاختيار خمس كروت من بين كرت مختلف كالتاليبطريقة أخرى يمكن استخدام نفس المعادلة بإستخدام صيغة المضروب لاختصار بعض الحدود المتكررة بالبسط والمقام بالطريقة التالية:

وهنا طريقة أخرى لإيجاد المطلوب بطريقة مختلفة مشابهه للطريقة الاولى لكن هنا تعتمد على الصيغة

والتي تنتج التالي

بإستخدام نفس الصيغة بدلالة المضروب وبدون أي اختصار أو تبسيط للحساب فإن هذا يتطلب حسابات أطول كما يلي:


تعداد من التوافيق[عدل]

عدد التوافيق مع التكرار[عدل]

مثال لحساب مجموعات ذات عناصر مكررة[عدل]

عدد من التوافيق لكل [عدل]

الإحتمالات: توافيق عشوائية[عدل]

للمزيد من القراءة[عدل]

ملاحظات[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ "Combinations - Rosetta Code". مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ High School Textbook for full-time student (Required) Mathematics Book II B (باللغة الصينية) (الطبعة 2nd). China: People's Education Press. June 2006. صفحات 107–116. ISBN 978-7-107-19616-4. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ "SAGE : Subsets". Sagemath.org. مؤرشف من الأصل (PDF) في 14 أكتوبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 10 أبريل 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. ^ Ryser 1963، p. 7 also referred to as an unordered selection.
  5. ^ Mazur 2010، p. 10
  6. ^ When the term combination is used to refer to either situation (as in (Brualdi 2010)) care must be taken to clarify whether sets or multisets are being discussed.
  7. ^ High School Textbook for full-time student (Required) Mathematics Book II B (باللغة الصينية) (الطبعة 2nd). China: People's Education Press. June 2006. صفحات 107–116. ISBN 978-7-107-19616-4. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

انظر أيضا[عدل]