في نظرية الأعداد، نقول عن دالة حسابية
أنها دالة جمع لمتغيرين صحيحين موجبين أو أكثر إذا تحقق ما يلي:[1]
لكل عددين
و
أوليين فيما بينهما، لدينا:
.
يقال عن دالة جمعية[2]
أنها جمعية بالكامل إذا كان
لكل الأعداد الصحيحة الموجبة
و
. إذا كانت
دالة جمعية بالكامل، فإن
.
كل دالة جمع بالكامل هي دالة جمع، لكن العكس غير صحيح.
أمثلة لدوال جمع بالكامل حسابية:
- دالة أوميغا الأولية
، المعروفة باسم "دالة أوميغا الكبيرة"، والتي تقوم بحساب العدد الإجمالي للعوامل الأولية للعدد
[3]، على سبيل المثال:
لأن العدد 1 ليس له عوامل أولية.
Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 1993 ⋅ 1993 ⋅ 1236661) = 4
Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 7⋅ 7 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6
Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 11⋅ 1993⋅ 1993 ⋅ 1236661) = 7.
أمثلة لدوال حسابية جمعية، ولكنها ليست جمعية بالكامل:
- دالة أوميغا الأولية
، المعروفة باسم "دالة أوميغا الصغيرة"، والتي تقوم بحساب عدد العوامل الأولية المميزة للعدد
.[4] مثلاً:
![{\displaystyle \omega (20,802,650,704,327,415)=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e87d56a7a2da37cc86a5a41f8a860101798235)
نقول عن دالة حسابية
، أنها دالة ضربية إذا كان
، لكل عددين
و
أوليين فيما بينهما.
لاحظ أنه إذا كانت
دالة جمعية، فيمكننا تكوين دالة ضربية بسهولة، مثلاً:
.