دالة حسابية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في نظرية الأعداد, دالة حسابية هي دالة (f(n قيمها أعداد حقيقية أو عقدية، عرفت على مجموعة الأعداد الطبيعية (أي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة) والتي "تعبر عن خاصية حسابية ما للعدد n".

انظر إلى رمز كرونكر.

الرموز المستعملة[عدل]

\sum_p f(p)\;   و  \prod_p f(p)\;  , يعنيان على التوالي المجموع والجداء اللذين يمتدان على مجموعة الأعداد الأولية.

\sum_p f(p) = f(2) + f(3) + f(5) + \cdots     \prod_p f(p)= f(2)f(3)f(5)\ldots.

وبشكل مماثل، فإن   \sum_{p^k} f(p)\;   و  \prod_{p^k} f(p)\;   يعنيان على التوالي المجموع والجداء اللذين يمتدان على مجموعة قوى الأعداد الأولية حيث تكون القوة أكبر قطعا من الصفر(إذن، 1 ليس ضمن هاته المجموعة).

\sum_{p^k} f(p) = f(2) + f(3) + f(4) +f(5) +f(7)+f(8)+f(9)+\cdots

\sum_{d|n} f(d)\;   و   \prod_{d|n} f(d)\;   يعنيان على التوالي المجموع والجداء اللذين يمتدان على مجموعة قواسم n الموجبة بما في ذلك 1 و n نفسه. على سبيل المثال، إذا كان n مساويا ل 12 فإن:

\prod_{d|12} f(d) = f(1)f(2) f(3)  f(4)  f(6)  f(12).\

وقد تستعمل هذه الرموز مدمجة مع بعضها البعض.   \sum_{p|n} f(p)\;   و   \prod_{p|n} f(p)\;   يعنيان على التوالي المجموع والجداء اللذين يمتدان على مجموعة قواسم n الأولية. على سبيل المثال، إذا كان n مساويا ل 18، فإن

\sum_{p|18} f(p) = f(2) + f(3),\

وبشكل مشابه،   \sum_{p^k|n} f(p^k)\;   و   \prod_{p^k|n} f(p^k)\;   يعنيان على التوالي المجموع والجداء اللذين يمتدان على مجموعة قوى الأعداد الأولية واللائي يقسمن العدد n. على سبيل المثال، إذا كان n مساويا ل 24، فإن

\prod_{p^k|24} f(p^k) = f(2) f(3)  f(4) f(8).\

الدوال ذات الصبغة الجداءية والدوال ذات صبغة الجمع[عدل]

دالة حسابية a هي :

للتذكير، عددان أوليان فيما بينهما هما عددان طبيعيان قاسمهما المشترك الأكبر هو الواحد. أي أنه لا وجود لعدد أولي يقسمهما معا في آن واحد.

وأيضا، دالة حسابية a هي :

(Ω(n و(ω(n و(νp(n – التفكيك إلى جداء قوى أعداد أولية[عدل]

الدوال ذات الصبغة الجداءية[عدل]

(φ(n – دالة مؤشر أويلر[عدل]

(φ(n, دالة مؤشر أويلر, هي عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من n والأولية معه.

\varphi(n) = n \prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right)
=n \left(\frac{p_1 - 1}{p_1}\right)\left(\frac{p_2 - 1}{p_2}\right) \ldots \left(\frac{p_{\omega(n)} - 1}{p_{\omega(n)}}\right)
.

(Jk(n – دالة مؤشر جوردان[عدل]

هي تعميم لمؤشر أويلر.

(μ(n - دالة موبيوس[عدل]

(μ(n، دالة موبيوس دالة مهمة بسبب صيغة العكس لموبيوس. انظر إلى التفاف ديريكليه أسفله.

\mu(n)=\begin{cases} (-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &\mbox{if }\; \omega(n) = \Omega(n)\\
0&\mbox{if }\;\omega(n) \ne \Omega(n).\end{cases}

هذا يعني أن μ(1) = 1. (لأن Ω(1) = ω(1) = 0.).

(cq(n - مجموع رامانجن[عدل]

الدوال ذات الصبغة الجداءية بصفة كاملة[عدل]

(λ(n - دالة ليوفيل[عدل]

(λ(n, دالة ليوفيل, تعرف بالصيغة التالية :

\lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)}.\;

(χ(n - الحروف[عدل]

كل حروف ديريشلت (χ(n, هي دوال ذات صبغة جداءية بصفة كاملة.

الدوال ذات صبغة الجمع[عدل]

الدوال ذات صبغة الجمع بصفة كاملة[عدل]

العلاقات بين هذه الدوال[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.