في الرياضيات ، هرم باسكال (بالإنكليزية : Pascal's pyramid) هو ترتيب ثلاثي الأبعاد للأعداد الثلاثية وهي معاملات المبرهنة الثلاثية و التوزيع ثلاثي الحدود. هرم باسكال هو نظير ثلاثي الأبعاد لمثلث باسكال ثنائي الأبعاد، والذي يحتوي على الأعداد الثنائية و يرتبط بالمبرهنة الثنائية و التوزيع ثنائي الحدين .
سمي هذا الهرم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال .
المعاملات الثلاثية تكتب على الشكل
(
n
i
,
j
,
k
)
{\displaystyle {n \choose i,j,k}}
(
i
,
j
,
k
)
{\displaystyle (i,j,k)}
n
=
i
+
j
+
k
{\displaystyle n=i+j+k}
(
n
i
,
j
,
k
)
=
n
!
i
!
j
!
k
!
{\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!j!k!}}}
في الجبر.
في التعداد.
في الإحصاء.
(
n
i
,
j
,
k
)
=
(
n
−
1
i
−
1
,
j
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
−
1
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
,
k
−
1
)
{\displaystyle {n \choose i,j,k}={n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}}
(
i
,
j
,
k
)
{\displaystyle (i,j,k)}
n
=
i
+
j
+
k
{\displaystyle n=i+j+k}
(
n
′
i
′
,
j
′
,
k
′
)
=
0
{\displaystyle {n' \choose i',j',k'}=0}
i
′
≤
−
1
{\displaystyle i'\leq -1}
j
′
≤
−
1
{\displaystyle j'\leq -1}
k
′
≤
−
1
{\displaystyle k'\leq -1}
n
′
=
i
′
+
j
′
+
k
′
≥
0
{\displaystyle n'=i'+j'+k'\geq 0}
(
n
−
1
i
−
1
,
j
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
−
1
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
,
k
−
1
)
=
(
n
−
1
)
!
(
i
−
1
)
!
j
!
k
!
+
(
n
−
1
)
!
i
!
(
j
−
1
)
!
k
!
+
(
n
−
1
)
!
i
!
j
!
(
k
−
1
)
!
{\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{(i-1)!j!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!(j-1)!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!j!(k-1)!}}}
لهذه الغاية نعمل بالقيمة !(n-1)، ثم نوحد مقامات الحدود الثلاثة بملاحظة أن
1
(
i
−
1
)
!
=
i
i
!
{\displaystyle {\frac {1}{(i-1)!}}={\frac {i}{i!}}}
i
!
j
!
k
!
{\displaystyle i!j!k!}
وهكذا :
(
n
−
1
i
−
1
,
j
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
−
1
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
,
k
−
1
)
=
(
n
−
1
)
!
i
!
j
!
k
!
(
i
+
j
+
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{i!j!k!}}\left(i+j+k\right)}
و الحال أن
n
=
i
+
j
+
k
{\displaystyle n=i+j+k}
(
n
−
1
)
!
n
=
n
!
{\displaystyle (n-1)!n=n!}
(
n
−
1
i
−
1
,
j
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
−
1
,
k
)
+
(
n
−
1
i
,
j
,
k
−
1
)
=
n
!
i
!
j
!
k
!
=
(
n
i
,
j
,
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {n!}{i!j!k!}}={n \choose i,j,k}}
