كتلة بلانك

في الفيزياء كتلة بلانك m_P (بالإنجليزي : Planck mass )هي وحدة الكتلة في نظام الوحدات الطبيعية المعروفة بوحدات بلانك , تعرف بــ :

$m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$

وتساوي حسابيا1.2209×10¹⁹ مقاسة بوحدات GeV/c2

وتساوي تقريبا 21.7644 مايكرو جرام أو 2.17644(11)×10⁻⁸ كيلو جرام

حيث: c سرعة الضوء

G ثابت الجذب العام

ħ انخفاض ثابت بلانك , غالبا مايستخدم انخفاض كتلة بلانك في فيزياء الجسيمات و فيزياءالكون

${\sqrt {\frac {\hbar {}c}{8\pi G}}}$ ≈ 4.340×10⁻⁶ g = 2.43 × 10¹⁸ إلكترون فولت/c².

أهميتها

كتلة بلانك هي كتلة الجسيمات التي يتساوى فيها نصف قطر الثقب الأسود-نصف قطر شفارتزشيلد-مع طول بلانك , و خلافا لجميع وحدات بلانك الأساسية والوحدات المشتقة تعتبركتلة بلانك أصغر قياس في تاريخ البشرية ويساوي تقريبا حجمها بحجم بيضة البرغوث , ويعتقد أن كتلة بلانك كتلة مثالية لها أهمية خاصة في ثابت الجذب الكمي في النسبية العامة وأساسيات الفيزياء الكمية لوصف الميكانيكا .

الاشتقاقات

تحليل الأبعاد

يمكن استخلاص صيغة كتلة بلانك بواسطة تحليل الأبعاد . في هذه الطريقة يتم البدء بثلاث ثوابت فيزيائية ħ, c, و G وجمعهم

$m_{P}=c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}},$

حيث n₁,n₂,n₃ ثوابت تحدد بمطابقة الجانبين , يستخدم L رمز للطول , T الزمن, M الكتلة , "[x]" أبعاد للكميات الفيزيائية x فتكون :

$[c]=LT^{-1}\$

$[G]=M^{-1}L^{3}T^{-2}\$

$[\hbar ]=M^{1}L^{2}T^{-1}\$.

ولذلك

$[c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}}]=M^{-n_{2}+n_{3}}L^{n_{1}+3n_{2}+2n_{3}}T^{-n_{1}-2n_{2}-n_{3}}$

إذا كنا نريد أبعاد الكتلة , نربط بين المعادلات التالية

$-n_{2}+n_{3}=1\$

$n_{1}+3n_{2}+2n_{3}=0\$

$-n_{1}-2n_{2}-n_{3}=0\$.

الحل لهذا النظام هو

$n_{1}=1/2,n_{2}=-1/2,n_{3}=1/2.\$

وبالتالي, فإن كتلة بلانك

$m_{P}=c^{1/2}G^{-1/2}\hbar ^{1/2}={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}.$

استبعاد ثابت الربط

الطاقةالمحتملة بين كتلتين يفصل بينهما مسافة r تساوي طاقة الفوتون أو طاقة الجذب , أوتكافئ

$E={\frac {Gm_{p}^{2}}{r}}={\frac {\hbar c}{r}}$

وباختصار نصف القطر من الطرفين

$Gm_{p}^{2}=\hbar c$

وبأخذ الجذر التربيعي للحصول على الكتلة

$m_{p}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$

الطول الموجي لكومتون و نصف قطر شفارتزشيلد

يمكن الحصول على كتلة بلانك من الطول الموجي لكومتون-تشتت مقياس الطول عند ظهور الأثر الكمي-و نصف قطر شفارتزشيلد, حيث أن طول كومتون الموجي يعطى بالعلاقة

$\lambda _{c}={\frac {h}{mc}}$

و نصف قطر شفارتزشيلد هو

$r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}$

وبالمساواة بينهما نحصل على

$m={\sqrt {\frac {hc}{2G}}}={\sqrt {\frac {\pi c\hbar }{G}}}$

حيث أن $h=2\pi \hbar$.

انظر أيضا

• الثقب الأسود
• الثقب الأسود فائق الضخامة
• طول بلانك
• كثافة بلانك

المصادر

1. Sivaram C. WHAT IS SPECIAL ABOUT THE PLANCK MASS? PDF
2. Johnstone Stoney, Phil. Trans. Roy. Soc. 11, (1881)

وصلات خارجية

• The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty