مجموع ريمان

  لمعانٍ أخرى، طالع مجموع (توضيح).

أربعة من طرق الجمع لريمان من أجل الاقتراب من قيمة المساحة الموجودة تحت المنحنى. طريقتا اليمين و اليسار تقتربان من المساحة المطلوبة باستعمال الحدين الأيمن والأيسر من كل مجال جزئي، على التوالي. Maximum and minimum methods make the approximation using the largest and smallest endpoint values of each subinterval, respectively. The values of the sums converge as the subintervals halve from top-left to bottom-right.

تعريف

لتكن f : D → R دالة معرفة على مجموعة جزئية، D، من مستقيم الأعداد الحقيقية، R. ليكن [I = [a، b مجالا مغلقا ضمن D، ولتكن

$P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},$

تجزئة ل I, حيث

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.$

مجموع ريمان ل f على I طبقا للتجزئة P يعرف كما يلي

$S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1}),\quad x_{i-1}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}.$

لاختيار $x_{i}^{*}$ في المجال $[x_{i-1},x_{i}]$ عديد من الإمكانيات.

مثال: اختيار $x_{i}^{*}$ يعطي مختلف الأنواع من مجاميع ريمان:

• إذا $x_{i}^{*}=x_{i-1}$ مهما كان i, إذن S يسمى مجموع ريمان اليساري.
• إذا $x_{i}^{*}=x_{i}$ مهما كان i, إذن S يسمى مجموع ريمان اليميني.
• إذا $x_{i}^{*}={\tfrac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$ مهما كان i, إذن S يسمى مجموع ريمان الوسطي.
• متوسط مجموعي ريمان اليساري واليميني يسمى المجموع شبه المنحرفي.
• إذا it is given that

$S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1}),$

where $v_{i}$ is the supremum of f على $[x_{i-1},x_{i}]$, then S is defined to be an مجموع ريمان العُلوي.

• Similarly, إذا $v_{i}$ is the infimum of f على $[x_{i-1},x_{i}]$, then S is a lower Riemann sum.

التأويل الهندسي لمجموع ريمان

• 
  مجموع من اليسار
• 
  مجموع من اليمين
• 
  مجموع من الوسط
• 
  مع $y=x^{2}$

انظر أيضا

• طريقة أويلر، طريقة من أجل حلحلة المعادلات التفاضلية.

وصلات خارجية

• محاكاة تظهر تقريب مجاميع ريمان