معادلة هاميلتون

معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) ${\mathcal {H}}(t,q,p)$ هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها . وهي معادلة تعتمد على الزمن $t$ و إحداثيات الوضع $q=(q_{1},q_{2}\dots q_{n})$ و زخم الحركة لكل الجسيمات $p=(p_{1},p_{2}\dots p_{n})$ .

عند دراسة حركة جسيم كتلته $m$ يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:

${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} )$

أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}$

حيث c سرعة الضوء ,

وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :

${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}\,.$

في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.

دالة هاميلتون و دالة لاغرانج

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاغرانج ${\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})$ التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات , ${\dot {q}}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}\dots {\dot {q}}_{n})$ :

${\mathcal {H}}(t,q,p)=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}\,p_{k}-{\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})$

نجد على اليمين السرعات ${\dot {q}}$ التي تؤول إلى الدوال ${\dot {q}}(t,q,p)$ عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :

$p_{k}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

واستنباطها من السرعات.

وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :

${\mathcal {L}}=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}$

$\mathbf {p} ={\frac {m{\dot {\mathbf {q} }}}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}}$

أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .

وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\mathbf {p} \,c^{2}}{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}}$

وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .

${\dot {q}}_{k}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{k}}}\ ,\quad {\dot {p}}_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{k}}}\,.$

كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة ${\mathcal {H}}(t,q,p)$ كدالة للمعاملين $q$ و $p$ .

انظر أيضا

• ميكانيك لاغرانج
• تحويل ليجاندر
• ستة درجات حرية
• جسيم في صندوق
• جهد يوكاوا