خاصية أرخميدس

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Wiki letter w.svg هذه المقالة يتيمة إذ لا تصل إليها مقالة أخرى. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها. (مايو 2014)
Arwikify.svg يرجى إعادة صياغة هذه المقالة باستخدام التنسيق العام لويكيبيديا، مثل إضافة الوصلات والتقسيم إلى الفقرات وأقسام بعناوين.

خاصية أرخميدس: بمعرفتك لمجموعة الأعداد الحقيقية R وتصورك لخط الأعداد الحقيقية قد يبدو واضحاً أن مجموعة الأعداد الطبيعيه N غير محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية R كيف نستطيع اثبات ذلك ؟ في الحقيقة لا نستطيع ان نفعل ذلك باستخدام الجبر وخصائص النظام , في الواقع يجب أن نستخدم completeness propertyفي R إضافة إلى خاصية الإستقراء في N حيث أن ( اذا كان n∈N فإن n+1 ∈N ) عند انعدام الحد العلوي لمجموعة الاعداد الطبيعية N يعني ذلك أن أي عدد حقيقي x يوجد عدد طبيعي n (يعتمد على x) بحيث x<n الإثبات : نريد أثبات أنه اذا كان x∈R اذا يوجد nx∈N بحيث x≤nx نفرض العكس للحصول على تناقض اذن نفترض : لكل n∈N بحيث x>n اذن x تمثل حداً علوياً للمجموعة N ومنها : اذن يوجد u∈R بحيث أن u=sup N يعنيu-1 ليس حد علوي اذن يوجد m∈N بحيث u-1<m u<m+1, m+1 ∈N اذنu ليس اصغر حد علوي لمجموعة Nاذن يوجد nx∈N بحيث x≤nx

  • نتيجه:

اذا كان S={1/n: n∈N} → inf S =0

الاثبات : S مجموعة غير خاليه ومحدوده من أسفل بالصفر , لنفرض أن w=inf S ومن الواضح أن w≥0 لكل ε>0 خاصية أرخميدس تعني أنه يوجد n∈N بحيث : ε<1/nاذن n>1/ε نجد أن لدينا: 0≤w≤1/n <ε ولكن لأي قيمة عشوائية لـ ε>0 فإن w=0

  • نتيجه:

اذا كانت t>0 يوجد nt∈N بحيث: 0<1/nt<t اثبات: عندما inf{1/n: n∈N}=0 و t>0 اذا t ليس حد سفلي للمجموعه {1/n حيث n∈N} وبالتالي يوجد nt∈N بحيث 0<1/nt<t

  • نتيجه:

اذا كانت y>0 يوجد nyN بحيث : ny-1≤ y ≤ny اثبات: خاصية أرخميدس يضمن المجموعة {Ey={m∈N : y<m الجزئية من الأعداد الطبيعية N غير خالية , ن طريق خاصية الترتيب الجيد للأعداد اذا مجموعة Ey تحتوي عنصر نرمز له بالرمز ny اذا ny-1 ليست داخل Ey اذا لديناny-1 ≤ y ≤ny

مثال على تطبيق خاصية ارخميدس في اثبات نظريات أخرى : -اثبتي أن المتتابعة (n) تباعدية. من خاصية أرخميدس نعلم أن الاعداد الطبيية غير محدودة إذاً المتتابعة n غير محدوده وبالتالي تكون تباعدية ومن المعاكس الايجابي لنظرية أن " كل متتابعة محدودة هي تقاربية " إذا كل غير محدوده تباعديه اذاً (n) تباعدية

المصدر: introduction to real analysysis Robert G.Bartlr 4thedithion

نتيجة 1 : المجموعة N محدودة من أسفل ولكن ليست محدودة من أعلى نتيجة 2 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعيةحيث:

 x>1/n

نتيجة 3 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد m,n ينتمي للاعداد الصحيحةحيث:

 n>x>m

نتيجة 4 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الصحيحةحيث:

n+1>x ≥ n

نتيجة 5 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعيةحيث:

x ≥ n> x-1

نتيجة 6 : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية:

بحيث x> n ≥ x-1

مثال : لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعيةحيث:

  n(n+1)/2>x≥  n(n-1)/2

للعدد الحقيقي 1/2*(2x+ 1/4)√ من النتيجة 5 يوجد عدد وحيد n∈N بحيث : N+1>√(2x+ 1/4)+1/2≥n

n+1/2)^2> 2x+ 1/4 ≥ (n-1/2)^2) 

أو

n^2+n> 2x ≥ n^2-n 

أو

n(n+1)/2>x≥  n(n-1)/2

يوضح المثال بالأعلى أن كل عدد صحيح موجب nيستطيع أن يعرف فردياً كـ: n=(i(i-1))/2 +j لكل i,j∈N ^ 1≤ j ≤i في مثل هذا المثال الفريد من نوعه للعناصر الطبيعية يكون أحياناً مساعد لفحص مجموعة الاعداد القابله للعد

المصدر : الويكبيديا الانجليزيه Archimedean semi-group

ترجمة وتنسيق طالبات قسم الرياضيات - جامعة الدمام بإشراف الدكتورة فاطمةالرواجح