خوارزم كلنشو

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

خوارزم كلنشو (بالإنجليزية: Clenshaw algorithm)[1] في التحليل العددي، هي طريقة قابلة للمعاودة لتقييم توافقات خطية من كثيرات حدود شيبيشيف. يمكن تطبيقها عموماً على أي نوع من كثيرات الحدود التي يمكن تعريفها بعلاقة تكرارية ثلاثية الحدود.

الخوارزم[عدل]

بفرض أن \phi_k,\; k=0, 1, \ldots دوال متعاقبة تحقق العلاقة التكرارية

\phi_{k+1}(x) + \alpha_k(x)\,\phi_k(x) + \beta_k(x)\,\phi_{k-1}(x) = 0,

حيث إن المعاملات \alpha_k و\beta_k هي معلومة مسبقاً. لأي تعاقب محدود c_0, \ldots, c_n، تعرف الدوال b_k بواسطة صيغة التكرار العكسي:

\begin{align}
  b_{n+1}(x) &= b_{n+2}(x) = 0, \\[.5em]
  b_{k}(x) &= c_k -\alpha_k(x)\,b_{k+1}(x) - \beta_{k+1}\,b_{k+2}(x).
\end{align}

التوافق الخطي \phi_k يحقق العلاقة:


  \sum_{k=0}^n c_k \phi_k(x)
  = b_0(x) \phi_0(x) + b_1(x)\left[\phi_1(x) + \alpha_0(x)\phi_0(x)\right].

طالع فوكس وباركر[2] لمعلومات أوفر عنها وعن تحليل الاستقرارية.

حالة خاصة لمتسلسلة شيبيشيف[عدل]

لتكن لدينا متسلسلة شيبيشيف المختصرة

p_n(x) = \frac{a_0}{2} + a_1T_1(x) + a_2T_2(x) + \cdots + a_nT_n(x).

تكون المعاملات في الصيغة التكرارية من كثيرات حدود شيبيشيف

 \alpha_k(x) = -2x, \quad \beta_k = 1.

بالتالي، بالاستعانة بالمطابقات

\begin{align}
  T_0(x) &= 1, \quad T_1(x) = xT_0(x),\\[.5em]
  b_{0}(x) &= a_0 + 2xb_1(x) - b_2(x),
\end{align}

يمكن اختصار خوارزم كلنشو إلى:

p_n(x) = \frac{1}{2}\left[b_0(x) - b_2(x)\right].

المصادر[عدل]

  1. ^ C. W. Clenshaw، A note on the summation of Chebyshev series, Math. Tab. Wash. 9 (1955) pp 118--120.
  2. ^ L. Fox and I. B. Parker, Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis, Oxford University Press (1968).

انظر أيضا[عدل]