تفاضل كامل

تفاضل كامل أو المشتقة الكاملة في الرياضيات (بالإنجليزية: total derivative) وبصفة خاصة في حساب التفاضل وهو يختص بتفاضل دالة تعتمد علي عدة متغيرات. فإذا كان لدينا دالة f تعتمد على المتغيرات مثلا t,x,y وغيرها فإن المشتقة الكاملة للدالة f بالنسبة إلى أحد المتغيرات مثل t تكون مختلفة عن المشتقة الجزئية. بحساب التفاضل الكامل للدالة f بالنسبة إلى t لا نعتبر أن المتغيرات الأخرى ثابتة أثناء تغير t ، وإنما تسمح للمتغيرات الأخرى x,y أن تتغير بالنسبة إلى t. وتأخذ المشتقة الكاملة أعتماد المتغيرات فيما بينها في الحسبان للحصول على التغير الكامل للدالة f على t.

فعلى سبيل المثال ، يكون التفاضل الكامل للدالة (f(t,x,y بالنسبة إلى t كالآتي :

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}.$

وعندما نقوم بضرب طرفي المعادلة بمعامل التفاضل $\operatorname {d} t$ نحصل على :

${\operatorname {d} f}={\frac {\partial f}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\operatorname {d} y.$

والنتيجة هي التغير التفاضلي $\operatorname {d} f$ للدالة $f$. ونظرا لأن $f$ تعتمد على $t$, فإن جزء من هذا التغير سيكون بسبب المشتقة الجزئية للدالة $f$ بالنسبة إلى $t$. ولكن بعض هذا التغير يعود على المشتقات الجزئية للدالة $f$ واعتمادها على المتغيرات $x$ و$y$.

وبناء على ذلك نطبق التفاضل $\operatorname {d} t$ على المشتقة الكاملة ل $x$ و$y$ للحصول على التفاضل بالنسبة إلى $\operatorname {d} x$ و$\operatorname {d} y$, والتي يمكن بها تعيين تأثيرهما على $\operatorname {d} f$..

ونعبر عن معامل التفاضل كالآتي :

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\partial }{\partial x}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {\operatorname {d} y_{j}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}},$

وهو يصف المشتقة الكاملة لدالة (في تلك الحالة بالنسبة إلى المتغير x ).

الحصول على المشتقة الكاملة بالتفاضل

يعطينا التفاضل تفسيرا واضحا للمشتقة الكاملة. فعلى سبيل المثال ، إذا افترضنا $M(t,p_{1},\dots ,p_{n})$ دالة للزمن t وعدد n من المتغيرات $p_{i}$ فيكون تفاضل الدالة M كالآتي:

$\operatorname {d} M={\frac {\partial M}{\partial t}}\operatorname {d} t+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial M}{\partial p_{i}}}\operatorname {d} p_{i}.$

وقد تكون المتغيرات t وp_j هي بدورها دوال بحيث تكون الدالة M معتمدة على تلك الدوال الأخرى ، عندئذ يمكننا اعتبار المعادلة السابقة بأنها تفاضل من الدرجة الأولى. وميزة تلك الطريقة أنها تأخذ في الاعتبار أيضا اعتماد المتغيرات على بعضها البعض. فمثلا ، إذا كانت $p_{1}^{2}=p_{2}p_{3}$ ،

فتكون :

$2p_{1}\operatorname {d} p_{1}=p_{3}\operatorname {d} p_{2}+p_{2}\operatorname {d} p_{3}$.

وإذا كانت المتغيرات p_j دوالا ل t, نحصل على :

$\operatorname {d} M={\frac {\partial M}{\partial t}}\operatorname {d} t+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial M}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial t}}\,\operatorname {d} t.$

المشتقة الكاملة والمشتقة الجزئية

تصادفنا في الميكانيكا مسائل تكون فيها الدالة $f$ لا تعتمد فقط على إحداثيات الموقع $x$ و$y$ وإنما أيضا على الزمن. أي تكون : $x=g(t)$ و$y=h(t)$ إحداثيات مواقع نقطة تتحرك وتغير موضعها بمرور الزمن. في تلك الحالة تصبح دالة الحركة :

$t\mapsto f(t,g(t),h(t))$

وهي معتمدة بطريقتان مع الزمن $t$ ، حيث أن $f$ نفسها تعتمد على الزمن $t$.

1. يسمى اعتماد $f$ على الزمن مباشرة "اعتمادا بسيطا " أو "اعتمادا مباشرا" Explicit،
2. وإذا كانت إحداثيات الموقع $x=g(t)$ و$y=h(t)$ هي الأخرى معتمدة على الزمن $t$ فيسمى اعتماد $f$ على الزمن "اعتمادا ضمنيا" Implicit.

نسمي المشتقة "مشتقة جزئية " للدالة $f$ بالنسبة للزمن عندما نعني المشتقة الجزئية للعلاقة الأولى ، أي :

${\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x,y)$

حيث تكون كل من $x$ و$y$ ثابتين.أي أن تلك الحالة تراعي الاعتماد المباشر للدالة على الزمن.

ومن ناحية أخرى نتحدث عن "المشتقة الكاملة" للدالة $f$ بالنسبة للزمن عند تعاملنا مع الدالة المركبة ، أي :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t,g(t),h(t)).$

وترتبط العلاقتان ببعضهما البعض كالآتي:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t,g(t),h(t))={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,g'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,h'={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}$

و هذه العلاقة تعتبر كلتا الحالتين لاعتماد الدالة "المباشرة " و"الضمنية " على الزمن.

أقرأ أيضا

• التفاضل
• التفاضل والتكامل
• اشتقاق (رياضيات)