جملة الحالات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

جملة الحالات في الفيزياء و الفيزياء الإحصائية بالذات (بالإنجليزية: Partition function ) خاصية إجماية نظام ترمويناميكي يمكن بواسطتها استنباط عدد كبير من الخصائص المكونة له . عندما يكون عدد الجزيئات N في النظام كبير جدا (وقد تكون مختلفة الأنواع) فيمكن اعتبار النظام "متواصلا " وبالتالي يمكن الاستعاضة عن جملة الحالات بتكاملات الحالات .


جملة الحالات الصغرية[عدل]

نستعين بجملة الحالات لوصف نظام معزول له طاقة داخلية () ثابتة ، وحجمه () وبه عدد () من الجزيئات في حالة توازن حراري ومعزولا عن الخارج . وتختص جملة الحالات الصغرية هنا بحصر حالات عدد صغير من اجزيئات وتوزيعها (ثم تأتي بعد ذلك دراسة حالة نظام يحتوي على عدد كبير جدا من الجزيئات ) . ونستنبط جملة الحالات الصغرية ( من عدد الحالات الصغرية الموجودة في نظام مغلق عند طاقة داخلية , و عدد الجزيئات والحجم (وربما بعض الخصائص الداخلية الأخرى) ، فتكون الطاقة الكلية ( أصغر من أو مساوية للطاقة  :

فإذا كان النظام في حالة توازن حراري (إنتروبيا في نهاية عظمى) ، فيكون احتمال وجود أحد الحالات الصغرية  :

وتعني هنا ( عدد الحالات ذات طاقة مساوية  :

في الميكانيكا التقليدية ندرس كثيرا أنظمة تتغير حالتها الصغرية باستمرار. مثال على ذلك دراسة الحركة في الغاز ، وفيها نجد أن جزيئات الغاز له ستة درجات حرية أي أن الغاز الذي يحتوي على عدد N يمكن وصفه بأن له عدد من الإحداثيات : منها إحداثيات الموضع (س ، ص ، ع) ،وعدد لزخم الحركة (مركبة في الاتجاه السيني، ومركبة في الاتجاه الصادي ، ومركبة في الاتجاه العيني) .

مع اعتبار q (الموضع واحداثياتة س ، ص ، ع) و p (زخم الحركة وإحداثياته الثلاث) .

نجد أن كل نقطة في فضاء الإحداثيات ويسمى أحيانا Gamma-space تمثل حالة من حالات النظام حيث تبلغ الطاقة ( حيث ( هي دالة هاميلتون للنظام الذي يحتوي على العدد N من الجزيئات وحجمه V .

ونظرا لأن الطاقة ثابتة في نظامنا الصغري فهو نظام معزول ، تكون الحالات المتكونة في فضاء جاما سطحا منحنيا ، يمكن للنظام التحرك عليه . وتكون جملة الحالات لمثل ذلك الغاز هو الحجم الذي يشغل المساحة المنحنية والتي يمكن تمثيلها بتكامل للحالات : [1]

ويكون احتمال وجود الغاز في حالة معينة بالقرب من مساويا ل:

مع

ودالة ديراك Dirac δ-Function .

جملة الحالات عند درجة حرارة ثابتة[عدل]

تتحدد الخواص الكلية لنظام ليس بالطاقة التي يحتويها و إنما تعتمد على درجة الحرارة (ترموديناميك) . وتعرف جملة الحالات بالمعادلة الآتية (أنظر توزيع بولتزمان):

ويكون احتمال وجود الحالة الصغرية في النظام (الحالة i ينتمي إليها الطاقة E_i للجزيئات )


ونحصل على جملة الحالات [2] التي تشكل المقام في المعادلة السابقة:

حيث هي دالة هاميلتون . وينتج معامل جيبس من تماثل الجزيئات وعدم التفرقة بينها . فلو أهملنا معامل جيبس لحصلنا على عدد N من الحالات التي نفرق بينها وبالتالي عدد من الحالات الصغرى ، وهذا عدد كبير ليس واقعي : كميتان من نفس الغاز يفصلهما حائل ، ولهما نفس درجة الحرارة ونفس الضغط . فعندما نزيل الحائل ونهمل المعامل لحصلنا على زيادة في إنتروبيا النظام وهذا مخالف للواقع ، إذ أنه بخلط جزئي نفس الغاز في الظروف الموصوفة لا يحدث تغير للإنتروبيا.

جملة الحالات لنظام كبير[عدل]

في النظام الكبير يكون عدد الجزيئات كبيرا جدا ولهذا لا يجرى تعيين حملة الحالات فيه عن طريق عدد الجزيئات وإنما باستخدام الجهد الكيميائي . ويكون احتمال وجود حالة معينة من الحالات الصغرية يساوي :

حيث ثابت بولتزمان.


وتكون جملة الحالات :

ويمن كتابتها في الصيغة التكاملية أو ما يسمى "تكامل الحالات" :

ويمكن حساب جملة الحالات للنظام الكبير عن طريق جملة الحالات واخذ الفوجاسيت في الحسبان ، فنحصل على :

.

حساب الجهود الترموديناميكية[عدل]

تشتق الكميات الترموديناميكية المميزة لنظام مثل الإنتروبيا S ، و الطاقة الحرة F و الجهد الكيميائي أوميجا بالاستعانة بجملة الحالات :


المراجع[عدل]

  1. ^ P. Hertz, Ann. Phys. (Leipzig) 33, 225 (1910). P. Hertz, Ann. Phys. (Leipzig) 33, 537 (1910).
  2. ^ Kanonisches Zustandsintegral

اقرأ أيضا[عدل]