جملة الحالات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

جملة الحالات في الفيزياء و الفيزياء الإحصائية بالذات (بالإنجليزية: Partition function ) خاصية إجماية نظام ترمويناميكي يمكن بواسطتها استنباط عدد كبير من الخصائص المكونة له . عندما يكون عدد الجزيئات N في النظام كبير جدا (وقد تكون مختلفة الأنواع) فيمكن اعتبار النظام "متواصلا " وبالتالي يمكن الاستعاضة عن جملة الحالات بتكاملات الحالات .


جملة الحالات الصغرية[عدل]

نستعين بجملة الحالات لوصف نظام معزول له طاقة داخلية (U) ثابتة ، وحجمه (V) وبه عدد (N) من الجزيئات في حالة توازن حراري ومعزولا عن الخارج . وتختص جملة الحالات الصغرية هنا بحصر حالات عدد صغير من اجزيئات وتوزيعها (ثم تأتي بعد ذلك دراسة حالة نظام يحتوي على عدد كبير جدا من الجزيئات ) . ونستنبط جملة الحالات الصغرية (Z_\mathrm{m}(U,N,V) من عدد الحالات الصغرية \psi الموجودة في نظام مغلق عند طاقة داخلية U, و عدد الجزيئات N والحجم V (وربما بعض الخصائص الداخلية الأخرى) ، فتكون الطاقة الكلية ( E_{\psi}(N,V أصغر من أو مساوية للطاقة U :


Z_\mathrm{m}(U,N,V) = \!\!\!\sum_{ E_{\psi} (N,V) \le U } \!\!\!1.

فإذا كان النظام في حالة توازن حراري (إنتروبيا في نهاية عظمى) ، فيكون احتمال وجود أحد الحالات الصغرية \psi :


P(\psi|U,N,V) =
\begin{cases}
\frac{1}{z_\mathrm{m}(U,N,V)} & \mbox{if } E_\psi(N,V) = U,\\
0 & \mbox{,others.} \\
\end{cases}

وتعني هنا (z_\mathrm{m}(U,N,V عدد الحالات ذات طاقة E_\psi مساوية U :


z_\mathrm{m}(U,N,V) =
 \!\!\!\sum_{ E_{\psi} (N,V) = U } \!\!\!1.

في الميكانيكا التقليدية ندرس كثيرا أنظمة تتغير حالتها الصغرية باستمرار. مثال على ذلك دراسة الحركة في الغاز ، وفيها نجد أن جزيئات الغاز له ستة درجات حرية أي أن الغاز الذي يحتوي على عدد N يمكن وصفه بأن له عدد 6N من الإحداثيات : منها 3N إحداثيات الموضع (س ، ص ، ع) ،وعدد 3N لزخم الحركة (مركبة في الاتجاه السيني، ومركبة في الاتجاه الصادي ، ومركبة في الاتجاه العيني) .

مع اعتبار q (الموضع واحداثياتة س ، ص ، ع) و p (زخم الحركة وإحداثياته الثلاث) .

نجد أن كل نقطة (p,q) في فضاء الإحداثيات ويسمى أحيانا Gamma-space تمثل حالة من حالات النظام حيث تبلغ الطاقة ( E_{\psi} =  H(p,q,N,V حيث (  H(p,q,N,V هي دالة هاميلتون للنظام الذي يحتوي على العدد N من الجزيئات وحجمه V .

ونظرا لأن الطاقة ثابتة في نظامنا الصغري فهو نظام معزول ، تكون الحالات المتكونة في فضاء جاما سطحا منحنيا ، يمكن للنظام التحرك عليه . وتكون جملة الحالات لمثل ذلك الغاز هو الحجم الذي يشغل المساحة المنحنية H(p,q,N,V)=U والتي يمكن تمثيلها بتكامل للحالات : [1]

Z_\mathrm{m}(U,N,V) \;= \!\!\!\!\!\int\limits_{ H(p,q,N,V) \le U} \!\!\!\!\! \frac{d^{3N}p\; d^{3N} q}{h^{3N} N!}.

ويكون احتمال وجود الغاز في حالة معينة بالقرب من (p,q) مساويا ل:


dP(p,q|U,N,V) = \frac{1}{z_\mathrm{m}(U,N,V)} \delta(U - H(p,q,N,V) )
\frac{d^{3N}p\; d^{3N} q}{h^{3N} N!}

مع


z_\mathrm{m}(U,N,V)
= \frac{\partial}{\partial U} Z_m(U,N,V)

ودالة ديراك Dirac δ-Function .

جملة الحالات عند درجة حرارة ثابتة[عدل]

تتحدد الخواص الكلية لنظام ليس بالطاقة التي يحتويها و إنما تعتمد على درجة الحرارة (ترموديناميك) . وتعرف جملة الحالات بالمعادلة الآتية (أنظر توزيع بولتزمان):


Z_k(N,V,T) = \sum_i\mathrm{e}^{-\frac{E_i}{k_\mathrm{B}T}}.

ويكون احتمال وجود الحالة الصغرية i في النظام (الحالة i ينتمي إليها الطاقة E_i للجزيئات )


p_i = \frac{1}{Z_k(N,V,T)} \mathrm{e}^{-\frac{E_i}{k_\mathrm{B} T}}.


ونحصل على جملة الحالات [2] التي تشكل المقام في المعادلة السابقة:


Z_k(N,V,T) = \int \mathrm{e}^{-\frac{H(\mathbf{p,q})}{k_\mathrm{B}T}} \, \frac{d\mathbf{p} d\mathbf{q}}{h^{3N} N!}.

حيث H هي دالة هاميلتون . وينتج معامل جيبس 1/N! من تماثل الجزيئات وعدم التفرقة بينها . فلو أهملنا معامل جيبس لحصلنا على عدد N من الحالات التي نفرق بينها وبالتالي عدد N! من الحالات الصغرى ، وهذا عدد كبير ليس واقعي : كميتان من نفس الغاز يفصلهما حائل ، ولهما نفس درجة الحرارة ونفس الضغط . فعندما نزيل الحائل ونهمل المعامل 1/N! لحصلنا على زيادة في إنتروبيا النظام وهذا مخالف للواقع ، إذ أنه بخلط جزئي نفس الغاز في الظروف الموصوفة لا يحدث تغير للإنتروبيا.

جملة الحالات لنظام كبير[عدل]

في النظام الكبير يكون عدد الجزيئات كبيرا جدا ولهذا لا يجرى تعيين حملة الحالات فيه عن طريق عدد الجزيئات وإنما باستخدام الجهد الكيميائي \mu . ويكون احتمال وجود حالة معينة من الحالات الصغرية i يساوي :

p_i = \frac{1}{Z_g(\mu, V, T)}\mathrm{e}^{-\frac{E_i - \mu N_i}{k_\mathrm{B} T}}

حيث k_{B} ثابت بولتزمان.


وتكون جملة الحالات :

Z_g(\mu, V, T) = \sum_i\mathrm{e}^{-\frac{E_i - \mu N_i}{k_\mathrm{B}T}}.

ويمن كتابتها في الصيغة التكاملية أو ما يسمى "تكامل الحالات" :

Z_g(\mu, V, T) = \sum\limits_{N=0}^{\infty} \int  \mathrm{e}^{-\frac{E(\mathbf{p,q}) - \mu N}{k_\mathrm{B}T}}  \, \frac{d\mathbf{p} d\mathbf{q}}{h^{3N} N!}.

ويمكن حساب جملة الحالات للنظام الكبير عن طريق جملة الحالات واخذ الفوجاسيت z = \exp(\mu/k_\mathrm{B} T) في الحسبان ، فنحصل على :

Z_g(\mu, V, T) = \sum\limits_{N=0}^{\infty} Z_k(N,V,T) z^N = \sum_{N=0}^\infty Z_k(N,V,T)\,\mathrm{e}^{\frac{\mu N}{k_\mathrm{B}T}}.

حساب الجهود الترموديناميكية[عدل]

تشتق الكميات الترموديناميكية المميزة لنظام مثل الإنتروبيا S ، و الطاقة الحرة F و الجهد الكيميائي أوميجا بالاستعانة بجملة الحالات :


\begin{align}
S(N,V,E) &= k_\mathrm{B} \,\ln Z_m(N,V,E)\\
F(N,V,T) &= - k_\mathrm{B}T  \,\ln Z_k(N,V,T)\\
\Omega(\mu, V, T) &= - k_\mathrm{B}T  \,\ln Z_g(\mu, V, T)
\end{align}

المراجع[عدل]

  1. ^ P. Hertz, Ann. Phys. (Leipzig) 33, 225 (1910). P. Hertz, Ann. Phys. (Leipzig) 33, 537 (1910).
  2. ^ Kanonisches Zustandsintegral

اقرأ أيضا[عدل]