دالة الكثافة الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات، دالة كثافة الاحتمال أو دالة الكثافة الاحتمالية (د. ك.ا) (بالإنجليزية: probability density function)‏ أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

$\int _{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1$

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي $X$ دالة كثافة احتمالية $f\left(X\right)$، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

$P\left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx$

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير $X$ قيمًا في الفترة $\left[a,b\right]$ مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت $F$ هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير $X$، يتحقق:

$,F\left(x\right)=\int _{-\infty }^{x}f\left(u\right)du$

وكذلك، فإنّ:

$f\left(x\right)={\frac {d}{dx}}F\left(x\right)$

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة $f\left(x\right)$، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي $\left[x,x+dx\right]$ هو $f\left(x\right)dx$.

دوال كثافة احتمالية مهمة

• التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة $\left[a,b\right]$ إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة $\left[a,b\right]$ مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة $\left[a,b\right]$، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة $\left[a,b\right]$، أي:

$f\left(x\right)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad a\leq x\leq b\\0\quad \quad x<a,x>b\end{cases}}$

• بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

$f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ-$\mu$ والتباين مساويًا لـ-$\sigma ^{2}$ تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

$f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

استعمالات

• حساب القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

$E\left[X\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)dx$

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

انظر أيضًا

• قائمة التوزيعات الاحتمالية
• دالة التوزيع التراكمي
• دالة الإمكان