دالة الكثافة الاحتمالية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) (بالإنكليزية: probability density function) أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

\int_{-\infty}^{+\infty} f\left(x\right) dx = 1

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد[عدل]

تكون للمتغير العشوائي X دالة كثافة احتمالية f \left(X\right)، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

P \left[ a \le X \le b \right] = \int_{a}^{b} f \left(x \right) dx

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير X قيمًا في الفترة \left[ a, b \right] مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير X، يتحقق:

,F \left(x \right) = \int_{-\infty}^{x} f \left(u\right) du

وكذلك، فإنّ:

f \left(x \right) = \frac{d}{dx} F \left(x \right)

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة f\left(x\right), عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي \left[x, x+dx \right] هو f \left(x \right) dx.


دوال كثافة احتمالية مهمة[عدل]

  • التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة \left[ a, b \right] إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة \left[ a, b \right] مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة \left[ a, b \right]، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة \left[ a, b \right]، أي:
f \left ( x \right) =
\begin{cases}
\frac{1}{b-a} \quad a \le x \le b \\
0    \quad  \quad x < a, x > b
\end{cases}
f \left ( x \right ) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-\mu والتباين مساويًا لـ-\sigma^2 تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
f \left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{- \frac{ \left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma^2}}


استعمالات[عدل]

E \left [ X \right ] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f \left ( x \right ) dx
أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.


أنظر أيضًا[عدل]

Nuvola apps kchart.png
هذه بذرة مقالة عن علم الإحصاء \ نظرية الاحتمالات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.