مستخدم:سند محمد عبدالفتاح القواسمه/مشكلة الاشارة العددية

في الرياضيات التطبيقية ، مشكلة الاشارة العددية هي مشكلة تقييم عدديا لا يتجزأ من غاية متذبذبة وظيفة من عدد كبير من المتغيرات. تفشل الطرق العددية بسبب الإلغاء القريب للمساهمات الإيجابية والسلبية في التكامل. يجب دمج كل منها بدقة عالية للغاية حتى يمكن الحصول على اختلافها بدقة مفيدة.

مشكلة الإشارة هي واحدة من المشاكل الرئيسية التي لم تحل في فيزياء العديد من أنظمة الجسيمات . غالبًا ما ينشأ في حسابات خواص النظام الميكانيكي الكمومي مع وجود عدد كبير من الفرميونات المتفاعلة بشدة ، أو في نظريات المجال التي تنطوي على كثافة غير صفرية من الفرميونات شديدة التفاعل.

نظرة عامة

في الفيزياء ، عادةً ما تصادف مشكلة الإشارة (ولكن ليس حصريًا) في حسابات خصائص النظام الميكانيكي الكمومي مع عدد كبير من الفرميونات المتفاعلة بشدة ، أو في نظريات المجال التي تنطوي على كثافة غير صفرية من الفرميونات شديدة التفاعل. نظرًا لأن الجزيئات تتفاعل بقوة ، فإن نظرية الاضطراب غير قابلة للتطبيق ، ويُجبر المرء على استخدام الأساليب العددية للقوة الغاشمة. نظرًا لأن الجزيئات عبارة عن فرميونات ، فإن الدالة الموجية لها تتغير عندما يتم تبديل أي فرميجين (بسبب مقاومة التماثل لوظيفة الموجة ، انظر مبدأ باولي ). لذلك ، ما لم تكن هناك عمليات الإلغاء الناشئة عن بعض التماثل في النظام ، فإن المبلغ الميكانيكي الكمومي على جميع حالات الجسيمات المتعددة ينطوي على جزء لا يتجزأ من وظيفة شديدة التذبذب ، وبالتالي يصعب تقييمها عدديًا ، لا سيما في البعد العالي. بما أن البعد الخاص بالتكامل يعطى بواسطة عدد الجزيئات ، فإن مشكلة الإشارة تصبح حادة في الحد الديناميكي الحراري . تتم مناقشة المظهر النظري الميداني لمشكلة الإشارة أدناه.

مشكلة الإشارة هي واحدة من المشاكل الرئيسية التي لم يتم حلها في فيزياء العديد من أنظمة الجزيئات ، مما يعوق التقدم في العديد من المجالات:

• فيزياء المادة المكثفة - تمنع الحل العددي للأنظمة ذات الكثافة العالية من الإلكترونات المرتبطة بشدة ، مثل نموذج هوبارد .
• الفيزياء النووية - تمنع عملية حساب ab initio لحساب خواص المادة النووية ومن ثم تحد من فهمنا للنواة والنجوم النيوترونية .
• نظرية المجال الكمي - تمنع استخدام شعرية QCD للتنبؤ بمراحل وخصائص مادة الكوارك . (في نظرية مجال الشبكة ، تُعرف المشكلة أيضًا باسم مشكلة الحركة المعقدة .)

مشكلة الإشارة في نظرية المجال

المصادر:

في منهج نظرية المجال للأنظمة متعددة الجسيمات ، يتم التحكم في كثافة فرميون من خلال قيمة الإمكانات الكيميائية للفرميون ${\textstyle \mu }$ . واحد يقيم وظيفة التقسيم $Z$من خلال جمع جميع التكوينات الحقل الكلاسيكي ، مرجح $\exp(-S)$ حيث $S$ هو عمل التكوين. يمكن إجراء المجموع على حقول fermion بشكل تحليلي ، ويترك واحد بمجموع على الحقول bosonic $\sigma$ $\sigma$ (التي ربما كانت في الأصل جزءًا من النظرية ، أو تم إنتاجها من خلال تحول هوبارد-ستراتونوفيتش لجعل عمل الفرمي من الدرجة الثانية)

$Z=\int D\sigma \;\rho [\sigma ]$

حيث $D\sigma$ يمثل مقياس المجموع على جميع التكوينات$\sigma (x)$

من الحقول bosonic ، مرجح

$\rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ])$

حيث $S$ هو الآن عمل الحقول bosonic ، و $M(\mu ,\sigma )$هي عبارة عن مصفوفة ترميز كيف تم اقتران الفرميونات بالبوزونات. القيمة المتوقعة لملاحظة

$A[\sigma ]$ لذلك هو متوسط على جميع التكوينات مرجحة$\rho [\sigma ]$

$\langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \;A[\sigma ]\;\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \;\rho [\sigma ]}}.$

إذا $\rho [\sigma ]$كانت موجبة ، فيمكن تفسيرها كإجراء احتمالي ، و$\langle A\rangle _{\rho }$

  يمكن حسابها عن طريق إجراء مجموع التكوينات الميدانية عدديًا ، وذلك باستخدام التقنيات القياسية مثل أخذ عينات أهمية مونت كارلو

تنشأ مشكلة الإشارة عندما تكون $\rho [\sigma ]$غير إيجابية. يحدث هذا عادة في نظريات fermions عندما كيميائية fermion المحتملة $\mu$غير صفري ، أي عندما تكون هناك كثافة خلفية غير صفرية للفرميونات. إذا $\mu \neq 0$لم يكن هناك تناظر الجسيمات المضادة للجسيمات ، و$\det(M(\mu ,\sigma ))$، وبالتالي الوزن ، بشكل عام هو رقم معقد ، لذلك لا يمكن استخدام أخذ العينات أهمية مونتي كارلو لتقييم لا يتجزأ.

إعادة وزن الإجراء

يمكن تحويل نظرية المجال ذي الوزن غير الإيجابي إلى نظرية ذات وزن موجب ، من خلال دمج الجزء غير الإيجابي (العلامة أو المرحلة المعقدة) من الوزن في الملاحظة. على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يتحلل وظيفة الترجيح في معاملها والمرحلة ،

$\rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ])$

حيث $p[\sigma ]$ هو حقيقي و موجب ، لذلك

$\langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\;p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\;p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}$

, لاحظ أن قيمة التوقع المطلوبة هي الآن نسبة حيث البسط والمقام هما قيم توقع تستخدم كلاهما دالة ترجيح موجبة

$p[\sigma ]$. ومع ذلك ، فإن ال$\exp(i\theta [\sigma ])$ هي وظيفة متذبذبة للغاية في مساحة التكوين ، لذلك إذا استخدم المرء طرق مونت كارلو لتقييم البسط والمقام ، فستقوم كل واحدة منها بالتقييم إلى عدد صغير للغاية ، حيث يتم غمر القيمة الدقيقة للضوضاء الكامنة في عملية أخذ عينات مونت كارلو . "سوء" مشكلة تسجيل الدخول

تقاس صغر المقام $\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}$: إذا كانت أقل بكثير من 1 ، فستكون مشكلة الإشارة شديدة. يمكن إظهار ذلك (على سبيل المثال)

$\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T)$

حيث $V$ هو حجم النظام ،, $T$هي درجة الحرارة و $f$هي كثافة الطاقة. وبالتالي فإن عدد نقاط أخذ عينات مونت كارلو اللازمة للحصول على نتيجة دقيقة يرتفع أضعافا مضاعفة كلما أصبح حجم النظام كبيرة ، وكما ترتفع درجة الحرارة إلى الصفر.

يعد تحلل دالة الترجيح في المعامل والطور مجرد مثال واحد (على الرغم من أنه تم اعتباره الخيار الأمثل لأنه يقلل من تباين المقام ). بشكل عام يمكن للمرء أن يكتب

$\rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}$

حيث $p[\sigma ]$يمكن أن يكون أي وظيفة ترجيح موجبة (على سبيل المثال ، وظيفة الترجيح لل $\mu =0$ النظرية.) ثم يتم قياس شدة مشكلة علامة

$\left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T)$

الذي يذهب مرة أخرى إلى الصفر أضعافا مضاعفة في حد حجم كبير.

طرق للحد من مشكلة الاشارة

مشكلة الإشارة NP صعبة ، مما يعني أن الحل الكامل والعامة لمشكلة الإشارة من شأنه أن يحل جميع المشاكل في فئة التعقيد NP في وقت متعدد الحدود. إذا لم يكن هناك حلول متعددة الحدود (كما هو مشتبه به عمومًا) لمشاكل NP (انظر مشكلة P مقابل NP ) ، فلا يوجد حل عام لمشكلة الإشارة. هذا يترك الباب مفتوحًا لاحتمال وجود حلول تعمل في حالات محددة ، حيث يكون لتذبذبات integrand بنية يمكن استغلالها لتقليل الأخطاء العددية.

في الأنظمة التي بها مشكلة علامة معتدلة ، مثل نظريات الحقل عند درجة حرارة مرتفعة بما فيه الكفاية أو في حجم صغير بما فيه الكفاية ، فإن مشكلة الإشارة ليست شديدة للغاية ويمكن الحصول على نتائج مفيدة بطرق مختلفة ، مثل إعادة ضبط الوزن بعناية ، والاستمرارية التحليلية من$\mu$ وهمي  إلى حقيقي $\mu$، أو تايلور التوسع في سلطات$\mu$

  .

هناك العديد من المقترحات لحل الأنظمة التي بها مشكلة علامة شديدة:

• خوارزميات ميرون . هذه تحقيق تسارع الأسي من خلال تحليل خطوط العالم fermion في مجموعات التي تساهم بشكل مستقل. لقد تم تطوير خوارزميات الكتلة لنظريات معينة ، ولكن ليس لنموذج هوبارد للإلكترونات ، ولا لنظرية الكواركات QCD .
• الكمي العشوائي . يتم الحصول على مجموع التكوينات كتوزيع التوازن للحالات التي تستكشفها معادلة Langevin المعقدة. حتى الآن ، تم العثور على الخوارزمية للتهرب من مشكلة علامة في نماذج الاختبار التي لديها مشكلة علامة ولكن لا تنطوي على fermions.
• طريقة العقدة الثابتة. واحد يحدد موقع العقد (الأصفار) من الدالة الموجية متعددة الجسيمات ، ويستخدم طرق مونت كارلو للحصول على تقدير لطاقة الحالة الأرضية ، مع مراعاة هذا القيد.
• خوارزميات ماجورانا. يمكن أن يساعد استخدام تمثيل forion Majorana في إجراء تحويلات Hubbard-Stratonovich في حل مشكلة علامة fermion لفئة من نماذج الجسم fermionic المتعددة.

أنظر أيضا

• طريقة المرحلة الثابتة
• تذبذب لا يتجزأ

المراجع

[[:تصنيف:مسائل غير محلولة في الفيزياء]] [[:تصنيف:ميكانيكا إحصائية]] [[:تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة]]