مبرهنة ويلسون: الفرق بين النسختين
[مراجعة غير مفحوصة] | [مراجعة غير مفحوصة] |
سطر 75: | سطر 75: | ||
|} |
|} |
||
==براهين== |
== براهين == |
||
===البرهان الأول=== |
===البرهان الأول=== |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
إذا كان ''n'' [[عدد غير أولي|عدداً غير أولي]] (مركب) فهو يقبل القسمة على عدد أولي ''q''، حيث {{nowrap|1=2 ≤ ''q'' ≤ ''n'' − 2}}. إذا كان {{nowrap|1=(''n'' − 1)!}} يطابق {{nowrap|1=−1 (mod ''n'')}} فإنه سيطابق -١ (mod ''q''). ولكن (''n'' − 1)! ≡ 0 (mod ''q'') . <br /> |
إذا كان ''n'' [[عدد غير أولي|عدداً غير أولي]] (مركب) فهو يقبل القسمة على عدد أولي ''q''، حيث {{nowrap|1=2 ≤ ''q'' ≤ ''n'' − 2}}. إذا كان {{nowrap|1=(''n'' − 1)!}} يطابق {{nowrap|1=−1 (mod ''n'')}} فإنه سيطابق -١ (mod ''q''). ولكن (''n'' − 1)! ≡ 0 (mod ''q'') . <br /> |
||
<br /> |
|||
===== حالة العدد الأولي ===== |
===== حالة العدد الأولي ===== |
||
<br /> |
|||
النتيجة واضحة عندما {{nowrap|1=''p'' = 2}} ، ولذلك سنفرض أن ''p'' عدد أولي فردي، {{nowrap|1=''p'' ≥ 3}}.<br /> |
النتيجة واضحة عندما {{nowrap|1=''p'' = 2}} ، ولذلك سنفرض أن ''p'' عدد أولي فردي، {{nowrap|1=''p'' ≥ 3}}.<br /> |
||
بما أنه يوجد لكل باقي (mod ''p'') معاكس ضربي وحيد (mod ''p'') غير صفري ''a''<sup>−1</sup>. من مبرهنة لاغرانج تقتضي أن القيم الوحيدة ل''a'' التي تحقق أن {{nowrap|1=''a'' ≡ ''a''<sup>−1</sup> (mod ''p'')}} هي {{nowrap|1=''a'' ≡ ±1 (mod ''p'')}}. بالتالي، استثناء ±1 ، يمكن تقسيم عوامل {{nowrap|1=(''p'' − 1)!}} إلى أزواج،<ref>When ''n'' = 3, the only factors are ±1</ref> بحيث يكون ضرب كل زوجين {{nowrap|1=≡ 1 (mod ''p'')}}.<br /> |
بما أنه يوجد لكل باقي (mod ''p'') معاكس ضربي وحيد (mod ''p'') غير صفري ''a''<sup>−1</sup>. من مبرهنة لاغرانج تقتضي أن القيم الوحيدة ل''a'' التي تحقق أن {{nowrap|1=''a'' ≡ ''a''<sup>−1</sup> (mod ''p'')}} هي {{nowrap|1=''a'' ≡ ±1 (mod ''p'')}}. بالتالي، استثناء ±1 ، يمكن تقسيم عوامل {{nowrap|1=(''p'' − 1)!}} إلى أزواج،<ref>When ''n'' = 3, the only factors are ±1</ref> بحيث يكون ضرب كل زوجين {{nowrap|1=≡ 1 (mod ''p'')}}.<br /> |
||
وبذلك تثبت المبرهنة. |
وبذلك تثبت المبرهنة. |
||
===البرهان الثاني=== |
|||
==تطبيقات== |
==تطبيقات== |
نسخة 12:45، 9 أكتوبر 2014
في الرياضيات، تنص مبرهنة ويلسون على أن عددا صحيحا طبيعيا ما n > 1 هو عدد أولي إذا وفقط إذا توفر ما يلي :
و بتعبير آخر، إذا وفقط إذا كان مضاعفا ل n.
التاريخ
توصل ابن الهيثم لهاته المبرهنة في العصور الوسطى،[1] لكنها نسبت إلى جون ويلسون تلميذ الرياضياتي الإنجليزي إدوارد ويرينغ الذي صاغها في القرن الثامن عشر. أعلن ويرينغ تلك المبرهنة في عام 1770، على الرغم من أنه لا هو ولا ويلسون أمكنهم إثبات ذلك. استطاع جوزيف لاغرانج في عام 1773، أن يقدم أول إثبات للمبرهنة.[2] هناك أدلة على أن ليبنيز كان على علم أيضًا بتلك المبرهنة قبل ذلك بنحو قرن، لكنه لم ينشر ذلك.
مثال
يبين الجدول التالي في عموده الأول قيم n من 2 حتي 30، و قيم في عموده الثاني. أما العمود الثالث فيحتوي على الباقي عند قسمة على n. لُونت السطور حيث n عدد أولي باللون الودي بينما لُونت السطور حيث n غير أولي باللون الأخضر.
2 | 1 | 1 |
3 | 2 | 2 |
4 | 6 | 2 |
5 | 24 | 4 |
6 | 120 | 0 |
7 | 720 | 6 |
8 | 5040 | 0 |
9 | 40320 | 0 |
10 | 362880 | 0 |
11 | 3628800 | 10 |
12 | 39916800 | 0 |
13 | 479001600 | 12 |
14 | 6227020800 | 0 |
15 | 87178291200 | 0 |
16 | 1307674368000 | 0 |
17 | 20922789888000 | 16 |
18 | 355687428096000 | 0 |
19 | 6402373705728000 | 18 |
20 | 121645100408832000 | 0 |
21 | 2432902008176640000 | 0 |
22 | 51090942171709440000 | 0 |
23 | 1124000727777607680000 | 22 |
24 | 25852016738884976640000 | 0 |
25 | 620448401733239439360000 | 0 |
26 | 15511210043330985984000000 | 0 |
27 | 403291461126605635584000000 | 0 |
28 | 10888869450418352160768000000 | 0 |
29 | 304888344611713860501504000000 | 28 |
30 | 8841761993739701954543616000000 | 0 |
براهين
البرهان الأول
حالة العدد غير الأولي
إذا كان n عدداً غير أولي (مركب) فهو يقبل القسمة على عدد أولي q، حيث 2 ≤ q ≤ n − 2. إذا كان (n − 1)! يطابق −1 (mod n) فإنه سيطابق -١ (mod q). ولكن (n − 1)! ≡ 0 (mod q) .
حالة العدد الأولي
النتيجة واضحة عندما p = 2 ، ولذلك سنفرض أن p عدد أولي فردي، p ≥ 3.
بما أنه يوجد لكل باقي (mod p) معاكس ضربي وحيد (mod p) غير صفري a−1. من مبرهنة لاغرانج تقتضي أن القيم الوحيدة لa التي تحقق أن a ≡ a−1 (mod p) هي a ≡ ±1 (mod p). بالتالي، استثناء ±1 ، يمكن تقسيم عوامل (p − 1)! إلى أزواج،[3] بحيث يكون ضرب كل زوجين ≡ 1 (mod p).
وبذلك تثبت المبرهنة.
تطبيقات
هذه المبرهنة لا تستعمل من أجل تحديد أولية عدد ما لأنه سرعان ما يصير !(n-1) كبيرا جدا بمجرد ما يصير n كبيراً نسبياً.
تعميمات
تعميم بسيط
تعميم غاوس
انظر أيضا
المراجع
- ^ O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham"، تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات
- ^ Joseph Louis Lagrange, "Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 2, pages 125–137 (1771). (Note: Lagrange proved Wilson's theorem in 1773. In 1773, when the Berlin Academy finally published its Mémoires for 1771, Lagrange's proof was simply inserted in the Mémoires for 1771. See footnote [2] on page 499 of: Leonard Euler; A. P. Juskevic and R. Taton (ed.s), Correspondence de Leonard Euler avec A. C. Clairaut, J. d'Alembert et J. L. Lagrange (Cambridge, Massachusetts: Birkhäuser, 1980) [in French].)
- ^ When n = 3, the only factors are ±1
- Ore، Oystein (1988). Number Theory and its History. Dover. ص. 259–271. ISBN:0-486-65620-9.
وصلات خارجية