فضاء طوبولوجي مزدوج

فضاء طوبولوجي مزدوج هو مصطلح في الرياضيات يُستخدم للإشارة إلى مجموعة مزودة بطوبولوجيين. إذا كانت المجموعة هي $X$ والطوبولوجيان هما $\sigma$ و$\tau$، يُعبّر عن الفضاء الطوبولوجي المزدوج بـالرمز $(X,\sigma ,\tau )$.

الاستمرارية المزدوجة

يُطلق على خريطة $\scriptstyle f:X\to X'$ من الفضاء الطوبولوجي المزدوج $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ بالنسبة إلى فضاء طوبولوجي مزدوج آخر $\scriptstyle (X',\tau _{1}',\tau _{2}')$ يُطلق عليها استمرارية مزدوجة إذا كانت $\scriptstyle f$ مستمرة كخريطة من $\scriptstyle (X,\tau _{1})$إلى $\scriptstyle (X',\tau _{1}')$ and as map وكخريطة من $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ إلى $\scriptstyle (X',\tau _{2}')$.

المتغيرات الطوبولوجية المزدوجة للخواص الطوبولوجية

بالتطابق مع الخصائص المعروفة جيدًا للفضاءات الطوبولوجية، هناك إصدارات للفضاءات الطوبولوجية المزدوجة.

• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ هو فضاء مضغوط مزدوج إذا كان كل غطاء $\scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}$ لـ $\scriptstyle X$ بـ $\scriptstyle U_{i}\in \tau _{1}\cup \tau _{2}$, يحتوي على غطاء فرعي محدود.
• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ هو هاوسدورف مزدوج إذا كان لأي نقطتين متمايزتين $\scriptstyle x,y\in X$ يوجد فك لـ $\scriptstyle U_{1}\in \tau _{1}$ و $\scriptstyle U_{2}\in \tau _{2}$ إما مع $\scriptstyle x\in U_{1}$ و $\scriptstyle y\in U_{2}$ أو $\scriptstyle x\in U_{2}$ و $\scriptstyle y\in U_{1}$.
• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ هو البعد الصفري المزدوج إذا كان يفتح في $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ المغلقة في $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ من قاعدة لـ $\scriptstyle (X,\tau _{1})$, وتفتح في $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ المغلقة في $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ من قاعدة لـ $\scriptstyle (X,\tau _{2})$.
• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $\scriptstyle (X,\sigma ,\tau )$ يسمى طبيعي مزدوج إذا كان لكل $\scriptstyle F_{\sigma }$ $\scriptstyle \sigma$-مغلق و$\scriptstyle F_{\tau }$ $\scriptstyle \tau$- مغلقة ومجموعات $\scriptstyle G_{\sigma }$ $\scriptstyle \sigma$-مفتوحة و $\scriptstyle G_{\tau }$ $\scriptstyle \tau$ومجموعات مفتوحة مثل $\scriptstyle F_{\sigma }\subseteq G_{\tau }$ $\scriptstyle F_{\tau }\subseteq G_{\sigma }$, و $\scriptstyle G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\emptyset .$

المراجع

• Kelly, J. C. (1963). Bitopological spaces. Proc. London Math. Soc., 13(3) 71—89.
• Reilly, I. L. (1972). On bitopological separation properties. Nanta Math., (2) 14—25.
• Reilly, I. L. (1973). Zero dimensional bitopological spaces. Indag. Math., (35) 127—131.
• Salbany, S. (1974). Bitopological spaces, compactifications and completions. Department of Mathematics, University of Cape Town, Cape Town.
• Kopperman, R. (1995). Asymmetry and duality in topology. Topology Appl., 66(1) 1--39.