هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

فضاء طوبولوجي متواصل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تقديم[عدل]

ما هو الشأن بالنسبة إلى الفضاءات الطوبولجية غير المـُمْتَرةِ, حيث تعمِّم المدمجاتُ الأشكالَ المغلقةَ والمحدودةَ في فضائناالاعتيادي أو الهندسة الأُقليدِيّة؛المتواصلاتُ أو الفضاءات الطوبولوجية المتواصلة تعمِّم مفهومَ الشيئ المملوء والمتماسكةُ أجزاؤهُ والملتصقُُ بعضها ببعضٍ مثل الكرة الحديدية أو القرص أو قطعةٍ من المستقيم. بخلاف الفلكات, الدوائر أو النقطتانيات والتي تقسم كل واحدة منهنّ الفضاء إلى أكثرَ من جزئين. و هذا يمكننا أيضا من تعميم بعضٍ من خصائص الاتصال التحليلي مثل مبرهنة القيم المتوسطة. ونهتم بالتواصل في التحليل لشدة تشابهه بمفهوم الاتصال. وهو المفهوم المؤسس للطوبولوجية تاريخيا.

  1. لأن الخصائص الهندسية أو التحليلية منها التي تـُحتـَرم في نقطة ما محليا تَتَحقَّق تلقائيا في كل الفضاء.و يمـَكـِّن دراسة الجصائص العامة للفضاء محليا.
  2. حيز هام من التحليل العقدية والاشتقاق بشكل عام يعتمد على الاتصال.

تعريف[عدل]

نقول إن فضاءً طوبولوجيا (E,T) مُـتَّواصِلٌ إذا لم نتمكن من فصله إلى مفتوحين لا يتقاطعان قطعاً. أو بعبارة أٌخرى لا يوجد مفتوحان في هذا الفضاء يتممان بعضهما البعض فيه لكن لا يتقاطعان. والمعنى ذاته يصاغ في واحدة مما يلي.

  1. إذا فـُصِل E إلى مفتوحَين غير متقاطعَين فأحدُهما الفراغٌ.
  2. إذا فـُصِل E إلى مغلَقَين غير متقاطعَين فواحدٌ منهما فراغٌ الآخرً الفضاء E نفسه.
  3. أذا طبقنا الفضاء إلى {0,1}مُطَبْلَجٍ بفَظـَّتِهِ فالتطبيق المتصل ثابت

{0,1}f:E\rightarrow

  1. غيرَ الفضاء والفراغ لايوجد أيّ مفتوحُِ مغلقُِ

مثال[عدل]

  1. االأجزاء المتواصلة من المحور الحقيقي هي مجالاته.
  2. مجموعة لصوق  (u_n)_{n \in \mathbb N} حيث lim_{n \rightarrow \infty} d(u_{n+1},u_n) = 0

مجموعة متواصلة

التطبيقات المُتَّصلة[عدل]

تعريف: نقول أن تطبيقا من فضاء طوبولوجيّ إلى آخر متصلٌ إذ كان يعكس كلَّ مفتوحٍ إلى مفتوحٍ. وبعبارة أُخرى: إذا كان (E_1,T_1) و(E_2,T_2) فضائين طوبولوجين فنقول أن التطبيق f:(E_1,T_1) \rightarrow (E_2,T_2) متصل إذا تحقق:

         \forall U \subset T_2 : f^{-1}(U) \subset T_1 

مبرهنة: صورة متواصلٍ بتطبيق متصل, جزء متواصل من فضاء الوصول. و بعبارة أُخرى التطبيقات المتصلة(من فضاء طوبولوجي إلى آخرٍ) تحافظ على التواصل.

بعض معايير التواصل[عدل]

  1. خاصية:لصوق كل جزءٍ متواصلٍ, جزءٌ متواصلٌ.
  1. خاصية:إذا كانت (U_i)_{i\in I\subset \mathbb N} أُسرة من متواصلات فضاء طوبولوجي حيث:

 \cap_{i\in I}U_i  \neq \empty فإن.  \cup_{i\in I}U_i  جزء متواصل.

تعريف: نسمِّى اتحادَ كلّ ألأجزاءالمتواصلة من فضاء طوبولوجي (E,T)التي تحتوي نقطة ما x مُرَكِّبُ تَوَاصُلِ هذه النقطة في E.

خاصية: لتكن x نقطةً من فضاء طوبولوجي E.

  1. مركب تواصل x هو أكبر متواصل يحتويه.
  2. مركب تواصل x جزءٌ مغلق.

تعريف:نعتبر y و x نقطتين من E. نسمي طريقا أصلها x وطرفها y كل تطبيق f متصل من المجال[0,1] ألى E حيث f(0)=x و f(1)=y

خاصية إذا وصّلناكل نقطتين من E بطريق فإن E متواصل.