كتلة بلانك

في الفيزياء كتلة بلانك m_P (بالإنجليزي : Planck mass )هي وحدة الكتلة في نظام الوحدات الطبيعية المعروفة بوحدات بلانك , تعرف بــ :

$m_P=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$

وتساوي حسابيا1.2209×10¹⁹ مقاسة بوحدات GeV/c2

وتساوي تقريبا 21.7644 مايكرو جرام أو 2.17644(11)×10⁻⁸ كيلو جرام

حيث: c سرعة الضوء

G ثابت الجذب العام

ħ انخفاض ثابت بلانك , غالبا مايستخدم انخفاض كتلة بلانك في فيزياء الجسيمات و فيزياءالكون

$\sqrt\frac{\hbar{}c}{8\pi G}$ ≈ 4.340×10⁻⁶ غ = 2.43 × 10¹⁸ GeV/c².

أهميتها

كتلة بلانك هي كتلة الجسيمات التي يتساوى فيها نصف قطر الثقب الأسود-نصف قطر شفارتزشيلد-مع طول بلانك , و خلافا لجميع وحدات بلانك الأساسية والوحدات المشتقة تعتبركتلة بلانك أصغر قياس في تاريخ البشرية ويساوي تقريبا حجمها بحجم بيضة البرغوث , ويعتقد أن كتلة بلانك كتلة مثالية لها أهمية خاصة في ثابت الجذب الكمي في النسبية العامة وأساسيات الفيزياء الكمية لوصف الميكانيكا .

الاشتقاقات

تحليل الأبعاد

يمكن استخلاص صيغة كتلة بلانك بواسطة تحليل الأبعاد . في هذه الطريقة يتم البدء بثلاث ثوابت فيزيائية ħ, c, و G وجمعهم

$m_P = c^{n_1} G^{n_2} \hbar^{n_3},$

حيث n₁,n₂,n₃ ثوابت تحدد بمطابقة الجانبين , يستخدم L رمز للطول , T الزمن, M الكتلة , "[x]" أبعاد للكميات الفيزيائية x فتكون :

$[c] = LT^{-1} \$

$[G] = M^{-1}L^3T^{-2} \$

$[\hbar] = M^1L^2T^{-1} \$.

ولذلك

$[c^{n_1} G^{n_2} \hbar^{n_3}] = M^{-n_2+n_3} L^{n_1+3n_2+2n_3} T^{-n_1-2n_2-n_3}$

إذا كنا نريد أبعاد الكتلة , نربط بين المعادلات التالية

$-n_2 + n_3 = 1 \$

$n_1 + 3n_2 + 2n_3 = 0 \$

$-n_1 - 2n_2 - n_3 = 0 \$.

الحل لهذا النظام هو

$n_1 = 1/2, n_2 = -1/2, n_3 = 1/2. \$

وبالتالي, فإن كتلة بلانك

$m_P = c^{1/2}G^{-1/2}\hbar^{1/2} = \sqrt{\frac{c\hbar}{G}}.$

استبعاد ثابت الربط

الطاقةالمحتملة بين كتلتين يفصل بينهما مسافة r تساوي طاقة الفوتون أو طاقة الجذب , أوتكافئ

$E=\frac{G m_p^2}{r}=\frac{\hbar c}{r}$

وباختصار نصف القطر من الطرفين

$G m_p^2=\hbar c$

وبأخذ الجذر التربيعي للحصول على الكتلة

$m_p=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$

الطول الموجي لكومتون و نصف قطر شفارتزشيلد

يمكن الحصول على كتلة بلانك من الطول الموجي لكومتون-تشتت مقياس الطول عند ظهور الأثر الكمي-و نصف قطر شفارتزشيلد , حيث أن طول كومتون الموجي يعطى بالعلاقة

$\lambda_c = \frac{h}{mc}$

و نصف قطر شفارتزشيلد هو

$r_s = \frac{2Gm}{c^2}$

وبالمساواة بينهما نحصل على

$m=\sqrt{\frac{hc}{2G}}=\sqrt{\frac{\pi c \hbar}{G}}$

حيث أن $h = 2\pi\hbar$.

شاهد أيضا

• الثقب الأسود
• الثقب الأسود فائق الضخامة
• طول بلانك
• كثافة بلانك

المصادر

1. Sivaram C. WHAT IS SPECIAL ABOUT THE PLANCK MASS? PDF
2. Johnstone Stoney, Phil. Trans. Roy. Soc. 11, (1881)

وصلات خارجية

• The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty