متجه وحدة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات يعرف متجه الوحدة (بالإنجليزية: Unit vector) في الفضاء الشعاعي المنظم على أنه متجه (أحياناً متجه بعدي) له طول 1 (وحدة طولية). يرمز إلى متجه الوحدة عادة باستخدام حرف بالحالة الصغيرة مع إشارة الزاوية (رمز رياضي) فوقه مثل القبعة. مثال: {\hat{\imath}}.

الجداء الداخلي لمتجهي وحدة في الفضاء الإقليدي هو بشكل بسيط جيب تمام الزاوية الحاصلة بينهما. نستنتج هذا باستبدال قيم المتجهات بـ 1 في علاقة الجداء الداخلي الاتجاهي.

نظام الإحداثيات الديكارتية[عدل]

في نظام الإحداثيات الديكارتية الثلاثي الأبعاد، يشار إلى متجه الوحدة على المحاور الثلاثة X, Y, Z باسم النواظم. وتعطى كما يلي:

\mathbf{\hat{\boldsymbol{\imath}}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\,  \mathbf{\hat{\boldsymbol{k}}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}

في الإحداثيات الإسطوانية[عدل]

متجهات الوحدة المخصصة للإحداثيات الإسطوانية هي: \boldsymbol{\hat{s}} وهي المسافة من محور التناظر، \boldsymbol{\hat \phi} وهي الزاوية مقاسة بعكس عقارب الساعة من محور x الموجب، و\boldsymbol{\hat{z}}.

يتم التحويل بين أسس الإحداثيات الإسطوانية المذكورة آنفاً وأسس الإحداثيات الديكارتية \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} كما يلي:

\boldsymbol{\hat{s}} = \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}}
\boldsymbol{\hat \phi} = -\sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}}
\boldsymbol{\hat{z}}=\boldsymbol{\hat{z}}.

الإحداثيات الكروية[عدل]

متجهات الوحدة في نظام الإحداثيات الكروية هي \boldsymbol{\hat{r}} المسافة القطرية من مركز الكرة، \boldsymbol{\hat{\phi}} الزاوية في المستوي x-y بعكس عقارب الساعة من المحور x، و \boldsymbol{\hat{\theta}} الزاوية من محور z الموجب. العلاقة بين هذه المتجهات مع الإحداثيات الديكارتية هي كالتالي:

\boldsymbol{\hat{r}} = \sin \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}}  + \sin \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} + \cos \theta\boldsymbol{\hat{z}}
\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} - \sin \theta\boldsymbol{\hat{z}}
\boldsymbol{\hat \phi} = - \sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}}