تحليل إلى عوامل

  ميّز عن تحليل رياضي.

في الرياضيات، التحليل إلى عوامل أو الإعمال (بالإنجليزية: factorisation) هو فك دالة كثيرة حدود إلى حاصل ضرب دالتين أو أكثر، ويكون ناتج ضرب هذه الدوال مساوٍ للدالة الأصلية، ونفس الشيء بالنسبة للأعداد والمصفوفات، فعلى سبيل المثال، هذه الحدودية $x^{2}-4$ يمكن تحليلها إلى $(x-2)(x+2)$. والعدد $15$ يمكن تحليله إلى $5\times 3$. وفي جميع هذه الحالات ينتج حاصل ضرب لدوال أو أعداد أو مصفوفات أبسط.

التحليل إلى جداء عوامل أولية

مبرهنة و تعريف

كل عدد صحيح طبيعي $n$ (حيث $n\geqslant 2$) يمكن كتابته بكيفية وحيدة الشكل $n=P_{1}^{\alpha _{1}}\times P_{2}^{\alpha _{2}}\times \ ...\ \times P_{k}^{\alpha _{k}}$ حيث $P_{1}$ و $P_{2}$ و $.....$ و $P_{k}$ أعداد أولية موجبة و مختلفة و $\alpha _{1}$ و $\beta$ و $...$ و $\alpha _{k}$ أعداد صحيحة طبيعية غير منعدمة.

نقول إننا فككنا إلى جداء عوامل أولية.

ملاحظة

إذا كان $n\in \mathbb {Z}$ حيث $n\leq -2$ يكفي تفكيك $-n$ للحصول على تفكيك $n$.

برهان

ليكن $n\in \mathbb {Z}$ حيث $n\geq 2$

• إذا كان $n$ عددا أوليا فإن $n=p^{\alpha }$ ( حيث $p=n$ أولي و $\alpha =1$)
• إذا كان غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب $q_{1}$ و هو عدد أولي أي $n=p_{1}q_{1}$
  • إذا كان $q_{1}$ عددا أوليا فإن $n=p_{1}q_{1}$ إذن $n$ جداء عددين أوليين.
  • إذا كان $q_{1}$ غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب $p_{2}$ و هو أولي إذن : $p_{1}=p_{2}q_{2}$ ومنه $n=p_{1}p_{2}q_{2}$
  • إذا كان $q_{2}$ عددا أوليا فإن $n=p_{1}p_{2}q_{2}$ وهو جدا أعداد أولية.
  • إذا كان $q_{2}$ غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب $p_{3}$ أولي ومنه $n=p_{1}p_{2}p_{3}q_{3}$

وهكذا نحصل على متتالية $(q_{n})_{n\geq 1}$ لأعداد صحيحة طبيعية بحيث : $1<...<q_{i}<..<q_{2}<q_{1}<n$. بما أن مجموعة قواسم عدد صحيح طبيعي منتهية، فإنه يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ بحيث يكون $q_{k}$ عددا أوليا و منه $n=p_{1}\times p_{2}\times ...\times p_{k-1}\times p_{k}$ نستنتج أن كل عدد صحيح طبيعي $n$ حيث $(n\geq 2)$ يكتب على الشكل $n=p_{1}\times ...\times p_{k}$ (نأخذ $q_{k}=p_{k}$) حيث $p_{1}$ و $p_{2}$ و $...$ و $p_{k}$ أعدادا أولية أولية ليست بالضرورة مختلفة، إذن يمكن كتابة $n$ على الشكل $n=p_{1}^{'\alpha _{1}}\times p_{2}^{'\alpha _{2}}\times ....\times p_{s}^{'\alpha _{s}}$ (*) حيث $p_{1}^{'}$ و $p_{2}^{'}$ و $....$ و $p_{s}^{'}$ أعداد أولية مثنى مثنى و $\alpha _{1}$ و $\alpha _{2}$ و $....$ و $\alpha _{s}$ أعدادا صحيحة طبيعية غير منعدمة.

الحدوديات

يتم تفكيك الحدوديات من أجل حلها على شكل معادلات

للتوسع أنظر معادلة حدودية.

انظر أيضا

• مثلث باسكال
• طريقة التعميل لأويلر
• تحليل عدد صحيح إلى عوامل