[1] [2]
توزيع باسكال (توزيع ذي الحدين السالب) [ عدل ]
بفرض ان هناك تجربة أو محاولة لها نتيجتان فقط هما النجاح أو الفشل وأن احتمال النجاح في أي محاولة هو P (احتمال الفشل 1-P) نفرض أن هذه التجربة تتكرر حتى الحصول على r نجاح. فإذا كانت X عدد مرات الفشل فيكون X + r عدد مرات اجراء التجربة حتى الحصول على r نجاح. عدد مرات اجراء التجربة يمكن ان يكون :
r
,
r
+
1
,
r
+
2
,
.
.
.
{\displaystyle r,r+1,r+2,...}
وهذا يعني أن X يمكن أن تكون:
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle 0,1,2,...}
الظواهر التي يمكن أن يصفها توزيع ذي الحدين السالب كثيرة في الحياة العملية منها مثلاً :
عندما يقرر لاعب الاعتزال عندما يبلغ عدد مرات فوز فريقة 25 فوز فتكون r=25 ,
x عدد مرات هزيمة الفريق , (X + r) عدد مرات لعب الفريق حتى يفوز في 25 مباراة . المتغير العشوائي X يتبع توزيع ذي الحدين السالب بمعالم r, p
الداله الاحتمالية [ عدل ]
f
(
x
)
=
C
r
−
1
x
+
r
−
1
p
r
q
x
{\displaystyle f(x)=\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}
x
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle x=0,1,2,...}
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq {p}\leq {1}}
q= 1-p
r عدد صحيح موجب
ويسمى توزيع الاحتمال حينئذ بتوزيع باسكال دليله p , r كما يسمى المتغير X بمتغير باسكال .
واضح ان
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq {0}}
لجميع قيم X كما ان
∑
x
=
0
∞
f
(
x
)
=
p
r
∑
x
=
0
∞
C
r
−
1
x
+
r
−
1
q
x
{\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }f(x)=p^{r}\sum _{x=0}^{\infty }\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x}}
=
p
r
[
1
+
r
1
!
q
+
r
(
r
+
1
)
2
!
q
2
+
r
(
r
+
1
)
(
r
+
2
)
3
!
q
3
+
.
.
.
]
{\displaystyle =p^{r}[1+{\frac {r}{1!}}q+{\frac {r(r+1)}{2!}}q^{2}+{\frac {r(r+1)(r+2)}{3!}}q^{3}+...]}
=
p
r
(
1
−
q
)
−
r
=
1
{\displaystyle =p^{r}(1-q)^{-r}=1}
وهذا يوكد أن
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
داله احتمالية وقد سميت بتوزيع ذي الحدين السالب لأن حدود مفكوك
p
r
(
1
−
q
)
−
r
{\displaystyle p^{r}(1-q)^{-r}}
تناظر احتمالات قيم X المتتالية. كما أن يمكن كتابتها على الصورة التالية:
f
(
x
)
=
C
x
−
r
p
r
(
−
q
)
x
=
C
x
−
r
(
−
q
p
)
x
(
1
p
)
−
r
−
x
{\displaystyle f(x)=\mathbf {C} _{x}^{-r}p^{r}(-q)^{x}=\mathbf {C} _{x}^{-r}({\frac {-q}{p}})^{x}({\frac {1}{p}})^{-r-x}}
فإذا قورنت بتوزيع ذي الحدين بمعالم :
−
r
,
(
−
q
p
)
{\displaystyle -r,({\frac {-q}{p}})}
عرفنا سبب تسميتها بتوزيع ذي الحدين السالب .
عندما r = 1 نجد ان توزيع ذي الحدين السالب يؤول إلى التوزيع الهندسي .
متوسط التوزيع [ عدل ]
نعلم أن :
∑
x
=
0
∞
C
r
−
1
x
+
r
−
1
q
x
=
(
1
−
q
)
−
r
{\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x}=(1-q)^{-r}}
بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على
∑
x
=
0
∞
x
C
r
−
1
x
+
r
−
1
q
x
−
1
=
r
(
1
−
q
)
−
r
−
1
{\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }x\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x-1}=r(1-q)^{-r-1}}
بالتفاضل الثاني
:
∑
x
=
0
∞
x
(
x
−
1
)
C
r
−
1
x
+
r
−
1
q
x
−
2
=
r
(
r
+
1
)
(
1
−
q
)
−
r
−
2
{\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }x(x-1)\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x-2}=r(r+1)(1-q)^{-r-2}}
وعلى ذلك فإن
μ
=
E
(
x
)
=
∑
x
=
0
∞
x
C
r
−
1
x
+
r
−
1
p
r
q
x
{\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=0}^{\infty }x\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}
=
r
(
1
−
q
)
−
r
−
1
q
p
r
=
r
q
p
{\displaystyle =r(1-q)^{-r-1}qp^{r}={\frac {rq}{p}}}
وبالمثل فإن
E
(
x
(
x
−
1
)
)
=
∑
x
=
0
∞
x
(
x
−
1
)
C
r
−
1
x
+
r
−
1
p
r
q
x
{\displaystyle E{(x(x-1))}=\sum _{x=0}^{\infty }x(x-1)\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}
=
r
(
r
+
1
)
q
2
p
2
{\displaystyle =r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}}
أي أن
E
(
x
2
)
=
r
(
r
+
1
)
q
2
p
2
+
r
q
p
{\displaystyle E(x^{2})=r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}}
تباين التوزيع [ عدل ]
σ
2
=
E
(
x
2
)
−
μ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}=E(x^{2})-\mu ^{2}}
=
r
(
r
+
1
)
q
2
p
2
+
r
q
p
−
r
2
q
2
p
2
{\displaystyle =r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}-{\frac {r^{2}q^{2}}{p^{2}}}}
=
r
q
p
2
{\displaystyle ={\frac {rq}{p^{2}}}}
دالة توليد العزوم [ عدل ]
M
(
t
)
=
E
(
e
x
t
)
{\displaystyle M(t)=E(e^{xt})}
=
p
r
∑
x
=
0
∞
C
r
−
1
x
+
r
−
1
(
q
e
t
)
x
{\displaystyle =p^{r}\sum _{x=0}^{\infty }\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}(qe^{t})^{x}}
∴
M
(
t
)
=
p
r
(
1
−
q
e
t
)
−
r
{\displaystyle \therefore M(t)=p^{r}(1-qe^{t})^{-r}}
M
′
(
t
)
=
r
q
p
r
e
t
(
1
−
q
e
t
)
−
r
−
1
{\displaystyle M'(t)=rqp^{r}e^{t}(1-qe^{t})^{-r-1}}
∴
μ
=
M
′
(
0
)
=
r
q
p
r
(
1
−
q
)
−
r
−
1
=
r
q
p
{\displaystyle \therefore \mu =M'(0)=rqp^{r}(1-q)^{-r-1}={\frac {rq}{p}}}
ان الحالات التي يظهر فيها متغير باسكال تنشأ في المعتاد عندما يستخدم ما يسمى بالمعاينة التتابعية sequential sampling حيث لا يحدد حجم العينة مسبقا , بل تختار المشاهدات بتتابع عشوائي الواحدة بعد الأخرى وتتوقف هذه العملية حين يجتمع عدد كاف من المشاهدات يمكننا من اتخاذ القرار بحسب قاعدة معينه توضع سلفا .
مراجع [ عدل ]
^ نظرية الاحتمالات. الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد
^ الإحصاء في البحوث العلمية. الأستاذ محمد أبويوسف