هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

حلم الطالب المبتدئ

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
للتوضيح: مربع طول ضلعه x+y، ومساحة سطحه ليست x^2+y^2 بل تزيد بمقدار 2xy.

حلم الطالب المبتدئ (بالإنجليزية: freshman's dream) هو اسم يُطلق في بعض الأحيان على الخطأ: (x+y)^n=x^n+y^n حيث n عدد حقيقي (عادة يكون عدد صحيح موجب أكبر من 1).

يحدث هذا الخطأ بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين[1] في حساب الأس لمجموع عددين حقيقيين. عندما تكون n=2، ولتوضيح سبب الخطأ فإن (x+y)^2 يمكن أن تحسب بشكل صحيح من خلال المتطابقة الشهيرة أو ما يعرف بطريقة FOIL حيث تقول بأن: «مربع مجموع عددين هو مربع الأول + ضعفي الأول في الثاني + مربع الثاني»، حيث يكون الجواب x^2+2xy+y^2.

وعندما تأخذ n أعداد صحيحة موجبة أكبر، يعطى الناتج الصحيح بواسطة مبرهنة ثنائية الحد.

ويُطلق اسم "حلم الطالب المبتدئ" في بعض الأحيان أيضاً على المبرهنة التي تقول بأنه: لكل عدد أولي p، إذا كان العددان x و y مقدارين من حلقة تبادلية مميزها هو (characteristic) p فإن: (x+y)^p=x^p+y^p ; في هذه الحالة يكون هذا "الخطأ" هو في الواقع الجواب الصحيح، وذلك لأن تقسيم p على كل المعاملات الثنائية يُبقي العددان الأول والأخير.

أمثلة[عدل]

  • (1+4)^2=5^2=25 في حين أن: 1^2+4^2=17
  • \sqrt{(x+y)^2} لا تساوي \sqrt{(x)^2} + \sqrt{(y)^2} = \left|x\right| + \left|y\right|
على سبيل المثال: \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 وهذا لا يساوي 3+4 = 7 . في هذا المثال تم ارتكاب الخطأ من أجل الأس n=1/2

برهان[عدل]

لكل عدد أولي p، إذا كان العددان x و y مقدارين من حلقة تبادلية مميزها (characteristic) هو p فإن: (x+y)^p=x^p+y^p

يمكن برهان ذلك عند تطبيق مبرهنة ثنائية الحد حيث:

(x+y)^{p}=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} x^{i} y^{p-i}.

حيث:

.\binom{p}{i}=\frac{p!}{(p-i)!i!}=p\!\cdot\!\frac{(p-1)!}{(p-i)! i!}

فعندما يكون p عددا أوليا

و 1\leq i\leq p-1

فإن i! وكذلك (p-i)! لا تقبلان القسمة على p.

و تكون \frac{(p-1)!}{(p-i)!i!} هو العدد الصحيح m حيث أن \binom{p}{i}=pm\equiv 0.

لذا (x+y)^p=x^p+y^p.[2]

انظر أيضاً[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
  2. ^ PlanetMath freshman's dream
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن موضوع له علاقة بالجبر بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.