حلم الطالب المبتدئ

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

حلم الطالب المبتدئ (بالإنجليزية: freshman's dream) هو اسم يعطى في بعض الأحيان على الخطأ (x+y)^n=x^n+y^n حيث n عدد حقيقي (عادة يكون عدد صحيح موجب أكبر من 1), يحدث هذا الخطأ بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين[1] في حساب الأس لمجموع عددين حقيقيين. عندما تكون n=2, يسهل فهم لما هي خطأ: (x+y)^2 يمكن أن تحسب بشكل صحيح من خلال المتطابقة الشهيرة (أو ما يعرف بطريقة FOIL حيث تقول بأن مربع مجموع عددين هو مربع الأول + ضعفي الأول في الثاني + مربع الثاني) حيث يكون الجواب x^2+2xy+y^2. و عندما تأخذ n أعداد صحيحة موجبة أكبر, يعطى الناتج الصحيح بواسطة مبرهنة ثنائية الحد.

يعطى اسم (حلم الطالب المبتدئ) في بعض الأحيان أيضاً على المبرهنة التي تقول بأنه من أجل العدد الأولي p وإذا كان العددان x و y مقدارين من حلقة تبادلية للمميز (characteristic) p فإن : (x+y)^p=x^p+y^p ; في هذه الحالة, هذا "الخطأ" هو في الواقع الجواب الصحيح, وذلك لأن تقسيم p على كل المعاملات الثنائية يُبقي العددان الأول والأخير.

أمثلة[عدل]

  • (1+4)^2=5^2=25 لكن 1^2+4^2=17
  • \sqrt{(x+y)^2} لا تساوي \sqrt{(x)^2} + \sqrt{(y)^2} = \left|x\right| + \left|y\right| ، على سبيل المثال : \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 وهذا لا يساوي 3+4 = 7 . في هذا المثال تم ارتكاب الخطأ من أجل الأس n=1/2

برهان[عدل]

تكون البرهان عند تطبيق مبرهنة ثنائية الحد. و نثبتها أولاً بالنسبة للمتغير p. (x+y)^{p}=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} x^{i} y^{p-i}. لاحظ الآن

.\binom{p}{i}=\frac{p!}{(p-i)!i!}=p\!\cdot\!\frac{(p-1)!}{(p-i)! i!}

عندما يكون p عدد أولي و 1\leq i\leq p-1 تتبع i! و (p-i)! لا تقسم p. كما لدى حقل K خاصية p, و تكون \frac{(p-1)!}{(p-i)!i!} هو العدد الصحيح m حيث أن \binom{p}{i}=pm\equiv 0 . لذا (x+y)^p=x^p+y^p.

و الآن نستعمل الاستقراء induction للمتغير p^i: (x+y)^{p^i}=((x+y)^p)^{p^{i-1}}=(x^p+y^p)^{p^{i-1}} =x^{p^i}+y^{p^i}. [2]


انظر أيضاً[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
  2. ^ PlanetMath freshman's dream
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن موضوع له علاقة بالجبر بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.