دوال ثيتا لنيفيل

في الرياضيات، دوال ثيتا لنيفيل (بالإنجليزية: Neville theta functions)‏ التي سميت باسم إريك هارولد نيفيل ‏، معرفة على النحو التالي:

$\theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$

$\theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$

$\theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$

$\theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$

$K(m)$ هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول، $K'(m)=K(1-m)$ و $q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}$ هو النُوم الإهليلجي.

العلاقة بدوال أخرى

يمكن التعبير عن دوال ثيتا لنيفيل بدلالة دوال ثيتا لجاكوبي

$\theta _{s}(z|\tau )=\theta _{23}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )$

$\theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2}(0|\tau )$

$\theta _{n}(z|\tau )=\theta _{4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )$

$\theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )$

حيث $z'=z/\theta _{3}(0|\tau )^{2}$ .

ترتبط دوال ثيتا لنيفيل بدوال جاكوبي الإهليلجية . إذا كانت $\operatorname {pq} (u,m)$ هي دالة جاكوبي الإهليلجية، فإن:

$\operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}$

أمثلة

نعوض z = 2.5, m = 0.3 في التعريفات المذكورة أعلاه لدوال ثيتا لنيفيل (باستخدام برنامج ميبل) بمجرد الحصول على ما يلي (بما يتفق مع نتائج ماثورلد ولفرام).

• $\theta _{c}(2.5,0.3)=-0.65900466676738154967$
• $\theta _{d}(2.5,0.3)=0.95182196661267561994$
• $\theta _{n}(2.5,0.3)=1.0526693354651613637$
• $\theta _{s}(2.5,0.3)=0.82086879524530400536$

تناظر

• $\theta _{c}(z,m)=\theta _{c}(-z,m)$
• $\theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)$
• $\theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)$
• $\theta _{s}(z,m)=-\theta _{s}(-z,m)$

تمثيلات بيانية عقدية ثلاثية الأبعاد