تكامل ناقصي
جزء من سلسلة مقالات حول |
التفاضل والتكامل |
---|
بوابة رياضيات |
في الحساب التكاملي، نشأت التكاملات الناقصية[1][2][3] أو التكاملات الإهليلجية[4] (بالإنجليزية: Elliptic integral) في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إيجاد طول قوس من القطع الناقص. تم دراستها لأول مرة من قبل جوليو فاغنانو [الإنجليزية] وليونهارت أويلر (حوالي 1750). تعرف الرياضيات الحديثة «التكامل الإهليلجي» على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:
حيث R هي دالة كسرية ذات متغيرين، و P هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و c هو ثابت.
عمومًا، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية. الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.
تدوين العمدة
[عدل]التكاملات الاهليلجية غير التامة هي دوال لعمدتين (arguments). أما التكاملات الاهليلجية التامة، فهي دوال لعمدة واحدة.
- α: الاختلاف المركزي الزاوي [الإنجليزية]
- k = sin α: الاختلاف المركزي.
- m = k2 = sin2 α: الوسيط
التكاملات الإهليلجية غير التامة
[عدل]التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الأول
[عدل]يعرف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول F بـ:
هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ) و x = sin (φ)، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:
بدلالة السعة φ والاختلاف المركزي الزاوي:
في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي «الوسيط»، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها «الاختلاف المركزي الزاوي». يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثاني
[عدل]تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:
شكل جاكوبي:
وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:
يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:
حيث a هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و e هو إختلافه المركزي.
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثالث
[عدل]تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث Π على الشكل المثلثي:
أو
يُطلق على العدد n اسم المميزة ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن لانهائي، مهما كان m.
يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض φ أيضا بدلالة Π:
التكاملات الإهليلجية التامة
[عدل]هي حالات خاصة للتكاملات غير التامة عندما تكون السعة تساوي π2، وبالتالي x=1.
التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول
[عدل]تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول K بـ:
يمكن استخدام مفكوكه:
يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي:
التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني
[عدل]تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني E بـ:
- .
بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي ، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:
يمكن استخدام مفكوكه:
حيث هو عاملي ثنائي.
التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث
[عدل]تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث Π بـ:
يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة n،
انظر أيضًا
[عدل]مراجع
[عدل]- ^ موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 207، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
- ^ معجم الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، ج. 2، 2000، ص. 97، QID:Q120333812
- ^ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 206. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
- ^ ميشال إبراهيم ساسين؛ رامي أبو سليمان؛ فادي فرحات (2007). قاموس المصطلحات العلمية: فيزياء - كيمياء - رياضيات (إنكليزي - فرنسي - عربي) مع مسرد ألفبائي بالألفاظ الفرنسية (بالعربية والإنجليزية والفرنسية) (ط. 1). بيروت: دار الكتب العلمية. ص. 288. ISBN:978-2-7451-5445-3. OCLC:929661320. OL:53616244M. QID:Q120799140.
تكامل ناقصي في المشاريع الشقيقة: | |
|