رقاص (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
رسم متحرك لحركة البندول . نقطة السكون هي Ruheposition

بندول الرياضيات (بالإنجليزية:( Pendel (Mathematics) هو بندول بسيط يمثل حالة مثالية للبندول ، ويستخدم نموذجه لفهم الحركة الاهتزازية التوافقية .

ويتميز البندول الرياضي بالخواص الآتية:

يمكننا تحقيق البندول البسيط باستخدام ثقل صغير الحجم للبندول ونعلقه بحيط رفيع . ونظرا لاختيار حرة بطيئة لتأرجح البندول (تعتمد على طول الخيط) فتكون قوى الاحتكاك بالهواء قليلة ويمكن اهمالها .

وباختيار انزياحا صغيرا عن نقطة السكون فيكون تردد البندول معتمدا فقط على طول الخيط و الجاذبية الأرضية. وكما زادت زاوية الانزياح (زاوية أكبر انزياح) يؤثر ذلك على التردد ، فيستحسن اختيار أزاحة صغيرة لمراعاة الدقة .

وبعكس المتوقع فلا يعتمد التردد على كتلة البندول.

الوصف الرياضي[عدل]

القوة المحركة للبندول:

بواسطة تحليل القوى المؤثرة على البندول يمكن تعيين معادلة الحركة له:

لدينا بندول خيطي معلق فيه كتلة m ويقع تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g فتنشأ عليه القوة (FR(t, التي تعمل مماسة للحركة القوسية للبندول . وتزداد تلك القوة التي تحاول إرجاع البندول إلى وضع السكون كلما زادت زاوية انزياحه φ عن نقطة السكون .

ونلاحظ عند رجوع البندول من أقصى نقطة ارتفاع له أن سرعته تزداد في اتجاه نقطة السكون ، وبعد تخطيها تتناقص سرعته وهو في طريقه إلى أعلى نقطة على الناحية الثانية . وتغير سرعة البندول تعني أن كتلة البندول يعتريها تسارع مماسا لاتجاه حركتة القوسية. وطبقا لقانون نيوتن الثاني ينشأ التسارع بسبب تأثير قوة على البندول وتتناسب معه .

بالتعويض عن التسارع المماسي يمكننا صياغة العلاقة بين القوة المماسة ومعدل تغير الزاوية :

حيث: طول الخيط .

(ملحوظة : تحتاج هذه الخطوة معرفة حساب التفاضل ، حيث المشتقة التفاضلية الثانية للزاوية بالنسبة للزمن .)

ونظرا لأن تلك هي القوة الوحيدة المؤثرة على البندول ولا توجد قوى مشوشرة أخرى فيمكننا مساواة المعادلتين بعضهما البعض ، فنحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية :

وباعتبار أن زاوية الانزياح صغيرة يمكن الحصول على التقريب الآتي للمعادلة :

وبالتعويض نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وحلها يعطينا معادلة الاهتزاز :

في تلك المعادلة ترمز إلى "مطال الزاوية" و φ0 ترمز إلى طور الزاوية الابتدائي عند الزمن . وبالتالي نحصل على التردد الزاوي للبندول و زمن الدورة لتلك الحركة الاهتزازية .

ومن تلك المعادلتين أن كلا من تردد الهزاز زدورته تعتمدان فقط على طول الخيط وعجلة الجاذبية الأرضية ، ولا تعتمد على كتلة البندول.

المصادر[عدل]

  • David Halliday (2001). Fundamentals of Physics , 6th ed, John Wiley & sons, Inc, New York.

اقرأ أيضا[عدل]