تفاضل وتكامل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

التفاضل والتكامل أو الحسبان (باللاتينية: Calculus) فرع من فروع الرياضيات يدرس النهايات والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات الانهائية. وهو علم يستخدم لدراسة التغير في الدوال وتحليلها.

ويدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم المختلفة حيث كثيرا ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز علم الجبر عن حلها بسهولة.وعادة مايدرس علم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات الجبر والهندسة وحساب المثلثات. ومن الموضوعات الرئيسية في هذا العلم هي النهايات والكميات الموحلة في الصغر.

و ينقسم إلى هذا العلم إلى فرعين هما التفاضل والتكامل ويربط بينهما ما يعرف بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وفى بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فية الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المختلفة مثل تفاضل وتكامل لامبدا والتفاضل والتكامل الاقتراحى والتفاضل والتكامل العلائقى والتفاضل والتكامل المؤكد.

النهايات[عدل]

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة f(x)\, هي دالة حقيقية وأن c\, عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

 \lim_{x \to c}f(x) = L

أي أن الدالة f(x)\, تكون قريبة جدا حسبما نريد من L\, عندما تقترب x\, من العدد c ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية f(x)\,, عندما x\, تؤول إلى c\,, هي L\,).

التفاضل والاشتقاق[عدل]

يتم اشتقاق التفاضل للدالة f(x)\, من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

f'(x)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
  • مشتفة الثابت :
 f(x) =a\,

عندما a هو عدد ثابت اذن

 f'(x) =0\,
  • مشتفة الدوال الاسية:
 f(x) = x^r,\,

اذا كان r عدد حقيقي اذن:

 f'(x) = rx^{r-1},\,

مثال على ذلك: f(x) = x^{1/4},

f'(x) = (1/4)x^{-3/4},\,


  • مشتفةالدوال الاسيه واللوغرتمية :
 \frac{d}{dx}e^x = e^x.
 \frac{d}{dx}a^x = \ln(a)a^x.
 \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0.
 \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}.
 \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).
 \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).
 \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x).
  • مشتقة دوال المثلثات العكسية:
 \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
 \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
 \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}.

التكامل[عدل]

في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل الغير محدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الأطوال, المساحات, المنحنيات, مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل الغير محدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.

الاشتقاق العكسي[عدل]

يعطى التكامل الغير محدود لتابع f(x)\, رياضي بالعلاقة:

\int f(x) dx = F(x) + C
حيث
F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)

التكامل المحدود[عدل]

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

\int_a^b f(x)\,dx

تطبيقات[عدل]

لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة, الكيمياء, الهندسة, الاقتصاد, الحاسوب وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والادبية. هنا بعض الامثلة:

تاريخ[عدل]

يعتقد البعض ان علم التفاضل قد سبق التكامل كون التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرخميدس الذي أدخل فكرة الخبرة المكتسبة والتي تمثل جزءَ أساسيا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على إيجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

وفي العصر الإسلامي استطاع ابن الهيثم استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع متوالية حسابية من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل, وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل اخرون لمتسلسلات شيهة بمتسلسلة تايلور.

مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة كاليونانية, الحديثة كالعربية وتطوير علوم الرياضيات, الفيزياء, الكيمياء, وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد مؤسسه إسحاق نيوتن.

مصادر[عدل]

اقرأ أيضا[عدل]