مبرهنة فيرما الصغرى

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مبرهنة فيرما الصغرى
النوع مبرهنة   تعديل قيمة خاصية حالة خاصة من (P31) في ويكي بيانات
الصيغة ، و   تعديل قيمة خاصية تعريف  معادلة (P2534) في ويكي بيانات
سميت بأسم بيير دي فيرما   تعديل قيمة خاصية سمي باسم (P138) في ويكي بيانات

من أجل مبرهنات أخرى مسماة نسبة إلى بيير دي فيرما، انظر إلى مبرهنة فيرما (توضيح).

مبرهنة فيرما الصغرى (بالإنجليزية: Fermat's little theorem) هي مبرهنة تنص على أنه إذا كان p عددا أوليا، فإنه ولأي عدد صحيح a ،تكون ap - a قابلة للقسمة على p،ويمكن كتابتها رياضياتيا بالعلاقة:

سميت المبرهنة بهذا الاسم لتمييزها عن مبرهنة فيرما الأخيرة. بعبارة أخرى, إذا أخذ عدد a وضرب في نفسه p مرة ثم طرح منه a فالعدد الناتج من هذه العمليات يقبل القسمة على p.

يمكن أيضاً كتابة العلاقة السابقة بالصورة:

إذا كان .

مبرهنة فيرما الصغرى[عدل]

ليكن p عددا اوليا موجبا

          ملاحظة :مبرهنة فيرما الصغرى تضل صالحة في 

نتيجة مبرهنة فيرما الصغرى[عدل]

ليكن p عددا اوليا موجبا

اذا كان فإن

البرهنة[عدل]

سنثبت النظرية باستخدام الاستقراء الرياضي لكل الأعداد الصحيحة الموجبة a ≥ 0. خطوة الأساس هي حينما 0 p ≡ 0 (mod p) صحيحة لأنها صحيحة للأعداد الصحيحة. ثم نثبتها لـa = k ومنها ننطلق لـa = k+1. ولهذه الخطوة سنحتاج إلى الاستدلال:

استدلال:[عدل]

لأي عدد أولي p فإن

لبرهنة الاستدلال سنحتاج إلى تقديم نظرية ذات الحدين والتي تنص على أنه لأي عدد صحيح n

حيث المعاملات معاملات ذات الحدين

والتي يمكن كتابتها بصيغة المضروب

و حيث أن جميع المعاملات أعداد صحيحة وحين 0 < p > i فإنه لايوجد قاسم لـp في المقام ، وبالتالي فإن المعامل يحتوي على قاسم p في البسط وبالتالي


وهذا يقصي جميع الحدود ماعدا الحدين الأول والأخير .

البرهان بالاستقراء[عدل]

لنفرض أن (kpk (mod p و لننظر لـk+1)p) من الاستدلال لدينا

وباستخدام نظرية الاستقراء لدينا (kpk (mod p; وببساطة 1p = 1

وبالتالي نحصل على

وهو مانريد إثباته a = k+1. ∎

عموميات[عدل]

إذا كان p' عددا أوليا وكان m وn عددين صحيحين طبيعيين حيث m يوافق n بترديد p-1, فإن لكل عدد صحيح ؟ لدينا: aman (بترديد p). (≡ يوافق بترديد)

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]